Question

Точка перетину діагоналей рівнобічної трапеції віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо більша основа дорівнює 20 см.

Answer 1

Задача: Точка пересечения диагоналей равносторонней трапеции отдалена от основ на 3 см и 5 см. Найдите площадь трапеции, если большая основа равна 20 см.

Решение:

Обозначим трапецию за ABCD, O — точка пересечения диагоналей, OH₁, OH₂ — отрезки, соединяющие O с основами трапеции, OH₁ = 3 см, OH₂ = 5 см. AD = 20 см.

Формула площади трапеции:

    $S=\frac{a+b}{2} \cdot h$,

где a, b — основы трапеции, h — высота трапеции.

Нужно найти высоту и меньшую основу трапеции.

Высота уже дана, и состоит и суммы длин отрезков, соединяющих точку пересечения диагоналей с основами.

    H1H2 (h) = OH₁+OH₂ = 3+5 = 8 (см)

Треугольники, образованные при пересечении диагоналей и лежащие на основаниях трапеции, подобные.

ΔOBC $\sim$ ΔODA  ⇒  $\frac{OB}{OD}= \frac{OC}{OA}=\frac{BC}{AD}$

Подобны и их внутренние элементы. Наши отрезки, соединяющие точку пересечения диагоналей с основами, являются высотами таких этих подобных треугольников. Используем их для нахождения коэффициента подобия:

    $k = \frac{H_1}{H_2} = \frac{3}{5}$

Подставим значения в пропорцию и найдем BC:

$\frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}\\\\\frac{BC}{20} = \frac{3}{5}\\\\BC = \frac{20\cdot 3}{5} = 12 \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу трапеции:

$S=\frac{a+b}{2} \cdot h\\S=\frac{20+12}{2} \cdot 8 = 16\cdot 8= 128 \:\: (cm^2)$

Ответ: Площадь трапеции равна 128 см².

Answer 2

Давайте позначимо точку перетину діагоналей трапеції як точку О, а більшу основу трапеції як AB (AB = 20 см). Також, позначимо відстані від точки О до основ AB як h1 та h2 (згідно з позначеннями на малюнку нижче).

Малюнок трапеції:

markdownCopy code
  A------------------------B
  |                        |
  |                        |
  |         O              |
  |         /              |
  |        /h1             |
  |       /                |
  |      /                 |
  |     /                  |
  |    /                   |
  |   /                    |
  |  /                     |
  | /h2                    |
  |/_______________________|

За теоремою про середню лінію трапеції, ми знаємо, що точка перетину діагоналей розділяє їх у співвідношенні 1:1. Тобто, h1 = h2.

Також, за теоремою Піфагора для трикутника AOB, маємо:

AB^2 = h1^2 + h2^2.

Але ми знаємо, що різниця відстаней від точки О до основ становить 3 см, тобто h2 - h1 = 3. З цієї інформації ми можемо скласти систему рівнянь:

1. h1 = h2,
2. h2 - h1 = 3.

Розв'яжемо цю систему:

З системи рівнянь, отримуємо h2 = 3, h1 = 3.

Тепер, щоб знайти площу трапеції, використаємо формулу:

S = ((a + b) * h) / 2,

де a та b - довжини основ трапеції, h - висота трапеції.

Тепер, підставимо відомі значення:

S = ((20 + 20) * 3) / 2, S = (40 * 3) / 2, S = 60.

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює 60 квадратних сантиметрів.