Question

Медіана прямокутного трикутника проведена до гіпотенузи 15см,а косинус гострого кута трикутника 0,6.Знайти радіус кола,вписаного в трикутник.

Answer 1

Відповідь: 6 см

Пояснення:

Пояснення:В прямокутному трикутнику  медіана проведена до гіпотенузи = її половині. АВ=2*СМ=2*15=30 см.

тикутник  АВС- прямокутний .  кут  С - прямий,  АВ - гіпотенуза, СМ - медиана до гіпотенузи , CosА=0,6.

АС=АВ*СosA=30*0,6=18 см

по теореме Пифагора:  $BC^{2} = AB^{2} -AC^{2}$=900-324=576

BC=24 см .

r=(АС+ВС-АВ)/2=(18+24-30)/2=12/2=6 см

Answer 2

Для вирішення задачі, спочатку знайдемо довжини катетів прямокутного трикутника, використовуючи медіану, а потім обчислимо радіус вписаного кола.

1. Знайдемо довжину катетів трикутника:

Позначимо довжину медіани як m, а довжину гіпотенузи як c. Знаємо, що медіана, проведена до гіпотенузи, ділить її на дві рівні частини, тобто дві частини гіпотенузи мають довжину 15 см кожна. Отже, можна записати:

c = 2 * m

2. Знайдемо косинус гострого кута трикутника:

cos(α) = 0,6

Так як ми маємо справу з прямокутним трикутником, то гострий кут α є кутом між медіаною і одним з катетів. Так як медіана ділить гіпотенузу на дві рівні частини, то косинус гострого кута відповідає півдовжині гіпотенузи.

cos(α) = c / 2m = 0,6

3. Знаходимо c:

c = 2 * m * 0,6

4. Знаходимо радіус вписаного кола:

Радіус вписаного кола в прямокутний трикутник може бути знайдений за допомогою формули:

r = (a + b - c) / 2

де a і b - довжини катетів трикутника.

Так як це прямокутний трикутник, то одна з його катетів дорівнює радіусу вписаного кола:

a = r

b = 15 (довжина медіани)

Тепер підставимо значення a, b і c у формулу для знаходження радіусу r:

r = (r + 15 - 2 * m * 0,6) / 2

Зауважимо, що у трикутнику медіана ділить гіпотенузу на дві рівні частини, тому m = c / 2.

r = (r + 15 - 2 * (c / 2) * 0,6) / 2

r = (r + 15 - 0,6 * c) / 2

Тепер підставимо значення c, яке ми знайшли раніше:

r = (r + 15 - 0,6 * (2 * m * 0,6)) / 2

r = (r + 15 - 0,6 * (2 * (r / 2) * 0,6)) / 2

r = (r + 15 - 0,6 * (r * 0,6)) / 2

Тепер розв'яжемо рівняння для r:

2r = r + 15 - 0,6 * 0,6r

2r - r = 15 - 0,36r

r = 15 / 1,64 ≈ 9,15 см

Отже, радіус вписаного кола в прямокутний трикутник становить приблизно 9,15 см.