Question

У прямокутному трикутнику різниця гострих кутів дорівнює 30 градусів, а сума гіпотенузи й меньшого катета дорівнює 9 см визначте довжину гіпотенузи

Answer 1

Разность острых углов равна 30°, значит, если один х, то другой 30°+х, а сумма этих же углов равна 90°, т.е. х+х+30°=90°, тогда 2х=60°, х=30°, т.е. меньший из этих углов 30°, а больший 30°+30°=60°

Если меньший катет у см, и  он лежит против меньшего угла, т.е.

против угла в 30°, он равен половине гипотенузы, гипотенуза в два раза больше, получаем у+2у=9⇒у=3, 3 см -меньший катет, тогда гипотенуза равна 3*2=6/см/

Ответ 6см

Answer 2

Позначимо гострі кути прямокутного трикутника як A і B, а гіпотенузу і катети як c, a і b відповідно. За умовою маємо:

1. A - B = 30 градусів (різниця гострих кутів)
2. c + a = 9 см (сума гіпотенузи і меньшого катета)

З прямокутного трикутника відомо, що синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи:

$\sin A = \frac{a}{c}$

$\sin B = \frac{b}{c}$

Ми знаємо, що сума кутів в трикутнику дорівнює 180 градусів, тому:

$A + B + 90 = 180$

Звідси маємо:

$A + B = 90$

Тепер можемо виразити $B$ через $A$:

$B = 90 - A$

Підставляючи це у рівняння $A - B = 30$, отримуємо:

$A - (90 - A) = 30$

$2A - 90 = 30$

$2A = 120$

$A = 60$

Отже, $B = 90 - A = 30$ градусів.

Тепер ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення для знаходження сторін трикутника:

$\sin 60^\circ = \frac{a}{c}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{c}$

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c$

Також, за теоремою Піфагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

Підставляючи вираз для $a$, отримуємо:

$c^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c\right)^2 + b^2$

$c^2 = \frac{3}{4} \cdot c^2 + b^2$

$b^2 = \frac{1}{4} \cdot c^2$

$b = \frac{c}{2}$

Знаючи, що $c + a = 9$, можемо підставити вираз для $a$:

$c + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c = 9$

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot c = 9$

$c = \frac{18}{3 + \sqrt{3}}$

По раціональному спрощенню маємо:

$c = 18 \cdot (3 - \sqrt{3})$

Таким чином, довжина гіпотенузи $c$ дорівнює $18 \cdot (3 - \sqrt{3})$ см.