Question

Дана правильная четырехугольная пирамида. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Сторона основания пирамиды равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. С рисунком. Заранее спасибо

Answer 1

Ответ:

Sпол=192 см²

Объяснение:

SABCD-правильная четырехугольная пирамида⇒ABCD-квадрат, SA=SB=SC=SD

Проведём высоту SO  и диагонали основания ABCD. Так как пирамида правильная четырехугольная, то AC∩BD=O.

Построим OK⊥CD⇒CK=KD⇒SК⊥CD, так как ΔSCD равнобедренный.

Тогда ∠SKO=(SCD)^(ABCD)=60°.

CD=DK, AO=OC ⇒отрезок KO средняя линия в ΔACD⇒

⇒KO=0,5AD=0,5·8=4

Из прямоугольного ΔSOK   SK=KO/cos∠SKO=4/cos60°=4/0,5=8

Sосн=AB²=8²=64

Sбок=0,5SK·Pосн=0,5·8·4AB=16·8=128

Sпол=Sосн+Sбок=64+128=192 см²

Answer 2

Для начала давайте разберемся, как выглядит данная четырехугольная пирамида с заданными параметрами.

По условию, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Значит, высота пирамиды будет проходить по центру боковой грани, и угол между этой высотой и боковой гранью также будет 60°.

Вот как примерно выглядит пирамида (не масштабированная схема):

cssCopy code
            A
           /|\
          / | \
         /  |  \
        /   |   \
       B----O----C
        \   |   /
         \  |  /
          \ | /
           \|/
            D

Где:

• A, B, C, D - вершины основания пирамиды (четырехугольника),
• O - вершина пирамиды (точка, откуда исходит высота).

Теперь давайте найдем высоту пирамиды. Она образует прямоугольный треугольник AOB:

cssCopy code
       A
       |\
       | \
    h  |  \
       |   \
       |____\
       O     B

Так как угол между боковой гранью и основанием равен 60°, а сторона основания равна 8 см, можно найти высоту при помощи тригонометрии. Половина стороны основания (AB) равна 4 см.

cos(60°) = 4/h

h = 4 / cos(60°)

h = 4 / (1/2) = 8 см.

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам нужно вычислить площади всех ее боковых граней и основания, а затем сложить их.

Площадь одной боковой грани пирамиды - это площадь равностороннего треугольника AOB, для которого у нас уже есть высота (8 см).

Площадь одной боковой грани = (1/2) * сторона основания * высота

Площадь одной боковой грани = (1/2) * 8 * 8 = 32 кв. см.

Таких боковых граней у пирамиды 4 (A, B, C, D), так что общая площадь боковых граней будет:

Площадь боковых граней = 4 * 32 = 128 кв. см.

Теперь найдем площадь основания. У нас есть четырехугольник ABCD, который можно разбить на два треугольника: ABC и ADC. Каждый из них - равносторонний треугольник с длиной стороны 8 см.

Площадь основания = 2 * (1/2) * сторона основания * высота

Площадь основания = 2 * (1/2) * 8 * 8 = 64 кв. см.

Теперь сложим площадь боковых граней и площадь основания, чтобы получить полную площадь поверхности пирамиды:

Площадь полной поверхности = Площадь боковых граней + Площадь основания

Площадь полной поверхности = 128 + 64 = 192 кв. см.

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды составляет 192 квадратных сантиметра.