Question

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90°. Биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 105°. Найдите меньший острый угол треугольника АВС.

Answer 1

Ответ:

∠B = 30°

Пояснение:

Дано: Δ АВС, ∠С = 90°, ∠АОС = 105°, биссектрисы CD и АЕ, что пересекаются в точке О

Найти: меньший острый угол Δ АВС

Решение

∠CAO = ∠OAD (так как биссетриса AE делит угол ∠А пополам)

∠ACD = ∠OCB= ∠C/2 = 90°/2 = 45° (так как биссетриса CD делит угол ∠C пополам)

Рассмотрим Δ CAO, в котором ∠CAO = 45°, ∠АОС = 105°, ∠CAO - ?

Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, то

∠CAO = 180° - (105° + 45°) = 180° - 150° = 30°

∠CAO = ∠OAD = 30°, следовательно ∠А = ∠CAO + ∠OAD = 60°

Рассмотрим Δ АВС, в котором ∠С = 90°, ∠А= 60, ∠B - ?

Так как сумма углов при катетах в прямоугольном треугольнике равна 90°, то

∠B = 90° - ∠А = 90° - 60° = 30°

Ответ: ∠B = 30°

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим меньший острый угол треугольника АВС как угол BAC (обозначим его за α). Так как треугольник АВС прямоугольный с углом C = 90°, то у нас есть угол A = 90° - α.

Теперь посмотрим на треугольник AOC. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Из условия задачи мы знаем, что угол АОС = 105°, а угол С = 90°. Таким образом, угол AOC = 180° - 105° - 90° = 75°.

Теперь рассмотрим треугольник AOE. Мы знаем, что угол АОЕ = 90° (так как угол С равен 90°) и угол АОС = 105°. Таким образом, угол EOS = 180° - 105° - 90° = -15°.

Теперь обратим внимание на треугольник BOC. Знаем, что угол BOC = 180° - угол AOC = 180° - 75° = 105°.

Теперь заметим, что угол BOA = угол BOC + угол AOC = 105° + 75° = 180°. Отсюда следует, что треугольник BOA вырожденный, и точки B, O и A лежат на одной прямой.

Теперь обратим внимание на треугольник BOE. У нас есть угол BOE = угол BOA + угол AOE = 180° + (-15°) = 165°.

Таким образом, меньший острый угол треугольника АВС равен 165°.