Question

Длины сторон прямоугольного треугольника равны `a`, `b`, `c`, а его площадь равна `S`. Известно, что числа `a`, `b`, `c`, `S` составляют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Ответ:

12

Объяснение:

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на число d, называемое разностью арифметической прогрессии.

Обозначим разность за x, тогда

b = a + x

c = b + x = a +2x

S = c + x = a + 3x

По теореме Пифагора a^2 + b^2 = c^2, т. е.

a^2 + (a+x)^2=(a+2x)^2

a^2 + a^2+2ax + x^2 = a^2 + 4ax +4x^2

a^2 - 2ax - 3x^2 = 0

(a - 3x)(a + x) = 0

Т. к. x>0, то x = a/3

S = a*b/2 = a(a+x)/2 = 4a^2/6 = a+3x = 2a, значит, a = 3, x = 3/3 = 1

P = a + b + c = a + a + x + a + 2x = 3a + 3x = 3*3 + 3*1 = 12

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника и арифметической прогрессии.

В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется теорема Пифагора:

cssCopy code
a^2 + b^2 = c^2

Мы также знаем, что S равна половине произведения катетов:

cssCopy code
S = (1/2) * a * b

Из условия задачи мы знаем, что a, b, c, S образуют арифметическую прогрессию, что означает, что разница между последовательными членами постоянна:

cssCopy code
b - a = c - b = S - c

Теперь давайте решим систему уравнений, составленных из этих условий. Сначала найдем c из второго уравнения:

rCopy code
c - b = S - c
2c = S + b
c = (S + b) / 2

Теперь, когда у нас есть значение c, мы можем найти a и b из первого уравнения:

cssCopy code
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = ((S + b) / 2)^2
a^2 + b^2 = (S^2 + 2Sb + b^2) / 4
4a^2 + 4b^2 = S^2 + 2Sb + b^2
3a^2 = S^2 + 2Sb - 3b^2
3a^2 = S^2 + b(2S - 3b)
b = (3a^2 - S^2) / (2S - 3b)

Теперь, когда у нас есть значение b, мы можем найти a:

cssCopy code
a = b - S + c

Теперь у нас есть значения a, b, c, и S, и мы можем найти периметр P прямоугольного треугольника:

cssCopy code
P = a + b + c

Давайте сделаем расчеты и найдем ответ.

Итак, периметр треугольника равен:

cssCopy code
P = a + b + c
P = ((3a^2 - S^2) / (2S - 3b)) + (b - S + c) + (S + b) / 2
P = (3a^2 - S^2) / (2S - 3b) + (b - S + (S + b)) + (S + b) / 2
P = (3a^2 - S^2) / (2S - 3b) + 2b + S

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника, используя известные значения a, b, S и формулу для P.