Question

один из катетов прямоугольного треугольника равен a ,медиана,проведенная к гипотенузе равна b, найти второй катет.ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!

Answer 1

Один из катетов прямоугольного треугольника равен a ,медиана,проведенная к гипотенузе равна b, найти второй катет.

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

• Пусть a - это длина одного из катетов.
• Пусть b - это длина медианы, проведенной к гипотенузе.

Медиана, проведенная к гипотенузе, делит её пополам и образует два прямоугольных треугольника, в каждом из которых медиана является высотой. Пусть M - середина гипотенузы, а H - точка пересечения медианы и гипотенузы.

Тогда у нас есть следующая система уравнений:

1. По теореме Пифагора в первом прямоугольном треугольнике (MTH): a^2 + (b/2)^2 = c^2, где c - гипотенуза треугольника MTH.

2. Во втором прямоугольном треугольнике (HMT): (c/2)^2 + b^2 = a^2.

Мы можем решить эту систему уравнений для неизвестных c и b. Сначала решим второе уравнение относительно c:

(c/2)^2 + b^2 = a^2, c^2/4 + b^2 = a^2, c^2 + 4b^2 = 4a^2, c^2 = 4a^2 - 4b^2, c = 2 * sqrt(a^2 - b^2).

Теперь, подставив значение c в первое уравнение, получим:

a^2 + (b/2)^2 = (2 * sqrt(a^2 - b^2))^2, a^2 + b^2/4 = 4 * (a^2 - b^2), 4a^2 + b^2 = 16a^2 - 16b^2, b^2 + 16b^2 = 16a^2 - 4a^2, 17b^2 = 12a^2, b^2 = (12/17) * a^2, b = sqrt((12/17) * a^2), b = (2/√17) * a.

Таким образом, мы нашли выражение для длины медианы b через длину катета a. Теперь мы можем найти второй катет, используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2, (2 * sqrt(a^2 - b^2))^2 = a^2 + b^2, 4 * (a^2 - b^2) = a^2 + b^2, 4a^2 - 4b^2 = a^2 + b^2, 3a^2 = 5b^2, a^2 = (5/3) * b^2, a = √((5/3) * b^2), a = (√5/√3) * b.

Теперь у нас есть выражение для длины второго катета через длину медианы b. Вы можете выбрать любое из двух полученных выражений для b и a в зависимости от того, какая из величин известна вам.