Question

Знайдіть косинус кута між векторами m і n, якщо вектори a=2m+3n і b=6m-n перпеедикулярні, |m|=2, |n|=6.

Answer 1

$\displaystyle a=2m+3n; b=6m-n\\\\a*b=0\\\\(2m+3n)(6m-n)=12m^2+18mn-2mn-3n^2=12|m|^2+16mn-3|n|^2=\\\\=12*2^2+16mn-3*6^2=48+16mn-108=16mn-60=0\\\\16mn=60\\mn=3.75\\\\cos (m;n)=\frac{m*n}{|m|*|n|}=\frac{3.75}{2*6}=\frac{5}{16}$

Answer 2

Для того щоб знайти косинус кута між векторами m і n, використаємо властивості скалярного добутку векторів.

Спочатку знайдемо скалярний добуток між векторами a і b, використовуючи їхні вирази через m і n:

a = 2m + 3n b = 6m - n

Тепер, скалярний добуток a і b визначається як:

a · b = (2m + 3n) · (6m - n)

Враховуючи, що вектори a і b перпендикулярні, їх скалярний добуток дорівнює нулю (a · b = 0). Тож отримаємо:

(2m + 3n) · (6m - n) = 0

Тепер розкриємо дужки і знайдемо скалярний добуток між m і n:

12(m · m) - 2(m · n) + 18(n · m) - 3(n · n) = 0

Так як ми знаємо, що |m| = 2 і |n| = 6, то маємо:

12(2^2) - 2(m · n) + 18(n · m) - 3(6^2) = 0 48 - 2(m · n) + 18(n · m) - 108 = 0

Тепер, щоб знайти (m · n) і (n · m), застосуємо властивості скалярного добутку:

m · n = |m| * |n| * cos(θ) = 2 * 6 * cos(θ) = 12 * cos(θ)

n · m = |n| * |m| * cos(θ) = 6 * 2 * cos(θ) = 12 * cos(θ)

Підставимо ці вирази назад у рівняння:

48 - 2(12 * cos(θ)) + 18(12 * cos(θ)) - 108 = 0

Тепер згрупуємо подібні доданки:

-24 * cos(θ) + 216 * cos(θ) = 60 * cos(θ) = 60

Тепер знайдемо косинус кута (cos(θ)):

cos(θ) = 60 / 60 = 1

Отже, косинус кута між векторами m і n дорівнює 1.