Question

Доведіть, що чотирикутник АВСD, у якого вершини знаходяться в точках А(-2; 3), В(2; 7), С(6; 3) і D(2; -1) є квадратом.

Answer 1

А(-2; 3), В(2; 7), С(6; 3) і D(2; -1)

У квадрата дiагоналi рiвнi та перпендикулярнi.

Коoрдинати векторiв (дiагоналi)

АС(8;0), ВD(0; -8).

Довжина векторiв:

|АС|=8, |BD|=8, |AC|=|BD|.

Скалярний добуток векторiв

АС× BD=8*0-8*0=0, тому вектори перпендикулярнi.

Отже ABCD квадрат.

Answer 2

Для того щоб довести, що чотирикутник ABCD є квадратом, потрібно переконатися, що всі його сторони мають однакову довжину і всі кути є прямими.

Спочатку знайдемо довжини сторін чотирикутника ABCD:

1. Сторона AB: AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((2 - (-2))² + (7 - 3)²) = √((4)² + (4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

2. Сторона BC: BC = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((6 - 2)² + (3 - 7)²) = √((4)² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

3. Сторона CD: CD = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((2 - 6)² + (-1 - 3)²) = √((-4)² + (-4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

4. Сторона DA: DA = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((-2 - 2)² + (3 - (-1))²) = √((-4)² + (4)²) = √(16 + 16) = √32 = 4√2

Отже, всі сторони чотирикутника ABCD мають однакову довжину 4√2.

Тепер перевіримо кути чотирикутника. Для цього порахуємо кут між векторами AB і BC:

Вектор AB: (2 - (-2), 7 - 3) = (4, 4) Вектор BC: (6 - 2, 3 - 7) = (4, -4)

Скалярний добуток векторів AB і BC: AB · BC = (4, 4) · (4, -4) = 4 * 4 + 4 * (-4) = 0

Так як скалярний добуток векторів AB і BC дорівнює нулю, це означає, що вони перпендикулярні, тобто кут між ними є прямим кутом.

Аналогічно, можна перевірити інші кути чотирикутника. Оскільки всі кути чотирикутника ABCD є прямими кутами, і всі його сторони мають однакову довжину, то чотирикутник ABCD є квадратом.

Отже, доведено, що чотирикутник ABCD є квадратом.