Question

У трикутнику АВС проведеної висоти АР і ВН. Доведіть, що АР=ВН, якщо ВС=НС​

Answer 1

Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔВНС и ΔАРС:

1) ВС=АС (равносторонний).

2) ∠АСВ - общий.

Значит, ΔВНС = ΔАРС по двум катетам.

Следовательно АР=ВН (равные элементы).

Попробую объяснить, почему ΔАВС равносторонний.

Если ∠АСВ - общий у двух прямоугольных треугольников, то другие два острых угла в прямоугольном треугольнике тоже равны (90-х).

Если взять пару треугольников ΔВАР и ΔНАВ, то у них такая же история. Поэтому, ΔАВС равносторонний (все углы равны).

Answer 2

Для доведення рівності AR = VN у трикутнику ABC з проведеними висотами AR і VN, нам потрібно скористатися означеннями висоти та рівністю довжини сторін.

Означення висоти: Висота трикутника - це відрізок, який проведений з вершини трикутника до протилежної сторони (або його продовження), перпендикулярно до цієї сторони.

Рівність довжини сторін: У рівнобедреному трикутнику довжина висоти, проведеної з вершини до основи, дорівнює відрізку, проведеному від середини основи до протилежної сторони.

У нашому випадку, ми маємо трикутник ABC з проведеними висотами AR і VN, де ВС = NS.

Оскільки ВС = NS, то VN - висота, проведена з вершини В до сторони СН, також буде відрізком, проведеним від середини сторони СН до протилежної сторони.

Отже, VN = NS.

Аналогічно, AR - висота, проведена з вершини А до сторони ВС. Також AR буде відрізком, проведеним від середини сторони ВС до протилежної сторони.

Отже, AR = NS.

Але ми маємо VN = NS.

Отже, AR = VN.

Таким чином, ми довели, що в трикутнику АВС з проведеними висотами АР і ВН, АР = ВН, оскільки обидва вони дорівнюють NS, яке є відрізком, проведеним від середини сторони СН до протилежної сторони.