Question

Помогите, 30 баллов параллелограмме MNPQ на сторонах MN, NP, PQ, QM отмечены соответственно точки K, L, S, T так, что MK/PS = MT/PL = 2/3. Отрезки LT и KS пересекаются в точке O. Найдите отношение LO:LT.

Answer 1

Ответ:

LO/LT=3/5

Объяснение:

MNPQ-параллелограмм⇒MN║PQ, MQ║NP, ∠M=∠P

MK/PS = MT/PL, ∠M=∠P⇒ΔMKT~ΔPLS⇒∠PLS=∠MTK, ∠PSL=∠MKT, KT/LS=MK/PS = MT/PL=2/3

MN║PQ⇒∠MKS=∠PSK⇒

⇒∠TKO=∠MKS-∠MKT=∠PSK-∠PSL=∠LSO⇒∠TKO=∠LSO

∠KOT=∠SOL-вертикальные углы

∠TKO=∠LSO, ∠KOT=∠SOL⇒ΔKOT~ΔLOS⇒OT/LO=KT/LS=2/3

OT/OL=2/3

1+(OT/OL)=1+(2/3)

(OL+OT)/LO=5/3

LT/LO=5/3

LO/LT=3/5

Answer 2

Чтобы найти отношение LO:LT, мы должны использовать свойства параллелограмма и отношения отрезков MK/PS и MT/PL.

Дано:

1. Параллелограмм MNPQ с точками K, L, S, T на сторонах MN, NP, PQ, QM соответственно.
2. Отношение MK/PS = 2/3
3. Отношение MT/PL = 2/3

Мы знаем, что прямые LT и KS пересекаются в точке O.

Теперь давайте воспользуемся теоремой о пересечении двух пропорциональных отрезков на параллельных прямых.

Теорема: Если две прямые LT и KS пересекаются на параллельных прямых MK и PS, то

LT/LK = MT/MK = PT/PS

Таким образом, у нас есть два равенства:

1. LT/LK = MT/MK = PT/PS = x (предположим, что оба равны x)

2. MK/PS = 2/3

3. MT/PL = 2/3

Теперь нам нужно выразить отношение LT:LO.

Для этого рассмотрим треугольник LOT:

LT/LK * KS/KO * OL/OT = 1

Теперь подставим равенства:

x * KS/KO * OL/OT = 1

KS/KO = (PS + PK)/(PO + PK) = PS/PO + PK/PO = PS/PO + 1

Заметим, что PS/PO = MK/MT (так как PT и MO параллельны, и их пересечение — точка O).

Аналогично, PK/PO = MK/MT (так как LO и MO параллельны, и их пересечение — точка O).

Подставим это обратно:

KS/KO = MK/MT + 1 = 2/3 + 1 = 5/3

Теперь выразим OL/OT:

x * 5/3 * OL/OT = 1

OL/OT = 3/5

Итак, отношение LO:LT = 3/5.