Question

Знайти площу прямокутного трикутника в якому висота, опущена із вершини прямого кута на гіпотенузу рівна 8 см., і одна із проекцій катета на гіпотенузу рівна 4 см​

Answer 1

Задача: Найти площадь прямоугольного треугольника, в котором высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна 8 см, и одна из проекций катета на гипотенузу равна 4 см.

Решение:

Дан ΔABC, ∠C = 90°, CH = 8 см — высота, AH = 4 см — проекция катета AC.

Из определения, высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

    $CH^2=AH\cdot BH \:\: \Rightarrow \:\: BH = \frac{CH^2}{AH} \\\\BH = \frac{8^2}{4} =\frac{64}{4}= \frac{16\cdot 4}{4} = 16 \:\: (cm)$

Тогда длина гипотенузы будет равна:

    $AB = AH+BH\\AB = 4+16= 20 \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу площади треугольника:

    $S = \frac{1}{2} a\cdot h_a=\frac{1}{2} AB\cdot CH\\\\S = \frac{20\cdot 8}{2} = 10\cdot 8 = 80 \:\: (cm^2)$

Ответ: Площадь треугольника равна 80 см².

Answer 2

Щоб знайти площу прямокутного трикутника, нам спочатку потрібно знайти довжину катетів або гіпотенузи. У даному завданні нам відомі дві інформації: висота, опущена із вершини прямого кута на гіпотенузу, і одна із проекцій катета на гіпотенузу.

Позначимо довжину гіпотенузи як "c" і довжину одного катета як "a". За теоремою Піфагора маємо:

c^2 = a^2 + (8 cm)^2

Також, маємо відношення проекцій катета і гіпотенузи:

a/с = 4 cm / (8 cm)

З цього відношення ми можемо виразити "a" через "c":

a = (4 cm / 8 cm) * c a = 0.5 * c

Підставимо це значення "a" у перше рівняння:

c^2 = (0.5 * c)^2 + (8 cm)^2 c^2 = 0.25 * c^2 + 64 cm^2 0.75 * c^2 = 64 cm^2 c^2 = (64 cm^2) / 0.75 c^2 = 85.3333 cm^2

Тепер знайдемо довжину гіпотенузи:

c = sqrt(85.3333 cm^2) c ≈ 9.240 cm

Знаючи довжину гіпотенузи, ми можемо знайти довжину обох катетів:

a = 0.5 * c ≈ 0.5 * 9.240 cm ≈ 4.620 cm

Таким чином, ми отримали, що один катет має довжину приблизно 4.620 см.

Тепер можемо знайти площу прямокутного трикутника за формулою:

Площа = (один катет) * (другий катет) / 2 Площа ≈ (4.620 cm) * (8 cm) / 2 Площа ≈ 18.48 cm^2

Отже, площа прямокутного трикутника приблизно 18.48 квадратних сантиметрів.