Question

Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 6 см. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60 °. Найти апофему пирамиды

Answer 1

Ответ: √39 см.

Объяснение:

1)Т.к. боковые рёбра наклонены к основанию на одинаковый угол⇒

основание высоты пирамиды находится в центре описанной около основания окружности;   а₃=6 см по условию и  а₃=R√3 ⇒ R=а₃:√3;

R=6:√3=2√3 (см).  

2) Высота пирамиды ⊥ плоскости основания ⇒ h⊥R и

tg60°=h:R  ⇒   h=R*tg60°=2√3*√3=2*3=6 (см).

3) а₃=2r√3, где r- радиус вписанной в основание окружности;

r=а₃:2√3=6:2√3=3:√3=√3 (см).

4) Пусть х- апофема пирамиды  ⇒ х - гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами r и h.  Из теоремы Пифагора:

х=√(r²+h²)=√(√3²+6²)=√(3+36)=√39 (см).

Answer 2

Апофема пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до центра её основания. Для нахождения апофемы, можно воспользоваться теоремой Пифагора в боковом треугольнике пирамиды.

Давайте обозначим апофему как "a", высоту бокового треугольника как "h", и половину стороны основания как "r" (половина стороны правильного треугольника). Также нам известен угол наклона бокового ребра, который составляет 60 градусов.

Мы можем разделить боковой треугольник пирамиды на два равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол 30 градусов (половина угла наклона бокового ребра).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна апофеме "a", а одна из катетов равна высоте "h", а другой катет равен половине стороны основания "r".

Мы можем применить тригонометрическую функцию синуса к углу 30 градусов: $\sin(30^\circ) = \frac{h}{a}$

Разрешая уравнение относительно "a", получаем: $a = \frac{h}{\sin(30^\circ)}$

Теперь нам нужно найти высоту "h". Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна апофеме "a", а один из катетов равен высоте "h". Другой катет будет составлять половину стороны основания "r". Применяя тригонометрическую функцию косинуса к углу 30 градусов: $\cos(30^\circ) = \frac{r}{a}$

Разрешая уравнение относительно "h", получаем: $h = r \cdot \cos(30^\circ)$

Теперь, подставив значение "h" в уравнение для "a", получаем: $a = \frac{r \cdot \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Заменяя численные значения тригонометрических функций (синус и косинус угла 30 градусов) и половину стороны основания "r" (которая равна 3 см, так как сторона основания равносторонний треугольник со стороной 6 см), мы можем вычислить апофему "a": $a = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{3}$

Итак, апофема пирамиды равна $3\sqrt{3}$ см.