Question

Точка дотику вписаного кола ділить сторону рівностороннього трикутника на два відрізки, один із яких на 15 см менший, ніж периметр трикутника. Знайдіть сторону трикутника.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1. Так як трикутник АВС-рівносторонній, то відрізки, на які ділиться трикутник окружністю рівні.

2. Нехай Р=х, тоді 0,5 АС=х-15, тоді АВ=ВС=АС=2х-30. Звідси отримаємо: х=3 (2х-30)

х=6х-90

- 5х=-90

х=18

Значить, Р=18.

Р=АВ+ВС+АС=18.Так як АС=АВ=ВС, то сторона трикутника=18:3=6см

Відповідь: 6см

Answer 2

Позначимо сторону рівностороннього трикутника через "a". Оскільки трикутник рівносторонній, то всі його сторони однакові.

Позначимо точку дотику вписаного кола до сторони трикутника через "D". Так як вписане коло торкається сторони трикутника перпендикулярно, точка дотику "D" є серединою сторони "a". Це означає, що відрізок "AD" ділить сторону "a" пополам.

Також маємо дані, що один із відрізків, на які поділилася сторона "a", є на 15 см менший за периметр трикутника.

Периметр рівностороннього трикутника дорівнює 3 * a, тобто тричі довжина однієї сторони. Таким чином, відрізок "BD" (який є меншим з двох відрізків, на які поділилася сторона "a") можна позначити як "a - 15".

З цими даними ми можемо записати рівняння: BD = a - 15, AD = a / 2.

Знаючи, що внутрішній трикутник із вершинами "A", "B" та центром кола є прямокутним трикутником (згідно з властивостями вписаного кола і його дотику до сторони), можемо скористатися теоремою Піфагора для цього трикутника:

(AD)² + (BD)² = (AB)², (a / 2)² + (a - 15)² = a².

Розкриваємо квадрати та спрощуємо рівняння:

a² / 4 + a² - 30a + 225 = a², 5a² - 120a + 900 = a², 4a² - 120a + 900 = 0.

Поділимо обидві сторони на 4 для спрощення:

a² - 30a + 225 = 0.

Тепер ми можемо спробувати розв'язати це квадратне рівняння. Давайте знайдемо дискримінант:

D = b² - 4ac, D = (-30)² - 4 * 1 * 225, D = 900 - 900, D = 0.

Дискримінант дорівнює нулю, що означає, що у нас є один корінь рівняння. Знайдемо цей корінь:

a = (-b ± √D) / 2a, a = (30 ± √0) / 2, a = 30 / 2, a = 15.

Отже, сторона рівностороннього трикутника дорівнює 15 см.