Question

В четырехугольнике РМНК проведены диагонали РН и МК, О — точка пересечения диагоналей (см. рисунок). Докажите, что МР = НК, если известно, что МО = НО и ОР = ОК.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

треугольник mpo = треугольнику hok по двум стронам и углу между ними так как

ho = mo по условию

po = ok по условию

угол mop =углу hok как смежные

если треугольники равны то все прилежащие компоненты равны

следовательно mp = hk

Answer 2

Для доказательства того, что $МР = НК$, рассмотрим треугольники $\bigtriangleup МОР$ и $\bigtriangleup НОК$.

У нас есть следующие известные факты:

1. $МО = НО$ (дано).
2. $ОР = ОК$ (дано).
3. $О$ - точка пересечения диагоналей $РН$ и $МК$ (дано).

Из пункта 1 следует, что у треугольников $\bigtriangleup МОР$ и $\bigtriangleup НОК$ равны гипотенузы ($МО$ и $НО$), а из пункта 2 следует, что у них равные катеты ($ОР$ и $ОК$).

По теореме о равенстве гипотенуз и катетов в прямоугольном треугольнике, такие треугольники будут равнобедренными и прямоугольными. Это означает, что у них углы при гипотенузах ($О$) равны 90 градусов, и они имеют равные остроугольные углы.

Теперь рассмотрим треугольники $\bigtriangleup МОР$ и $\bigtriangleup НОК$:

1. Угол $МОР$ равен углу $НОК$ (из свойств равнобедренных треугольников).
2. Угол $ОМР$ равен углу $ОНК$ (так как они являются остроугольными равными углами равнобедренных треугольников).

Из этих двух пунктов следует, что треугольники $\bigtriangleup МОР$ и $\bigtriangleup НОК$ равны по двум углам и общему острому углу. Следовательно, они равны в целом (по углам-сторонам-углам), и это означает, что соответствующие стороны также равны:

$МР = НК$.

Таким образом, мы доказали, что если $МО = НО$ и $ОР = ОК$, то также $МР = НК$.