Question

Выполнив построение выясните взаимное расположение двух окружностей заданных уравнениями ( x+1)^2+(y-3)^2= 16 и (x-3)^2+(y-1)^2=4

Answer 1

(x + 1)² + (y - 3)² = 16 - уравнение окружности с центром C₁ (-1; 3) и радиусом R₁ = √16 = 4

(x - 3)² + (y - 1)² = 4 - уравнение окружности с центром C₂ (3; 1) и радиусом R₂ = √4 = 2

Строим (см. рисунок)

Окружности пересекаются (в 2-х точках)

Примечание:

Для выяснения взаимного расположения окружностей не было необходимости их строить, но раз попросили...

Answer 2

Давайте начнем с анализа уравнений окружностей:

1. Уравнение первой окружности: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$
2. Уравнение второй окружности: $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4$

Для того чтобы определить взаимное расположение окружностей, давайте вначале определим координаты и радиусы этих окружностей.

1. Первая окружность:

   • Координаты центра: $(-1, 3)$
   • Радиус: $\sqrt{16} = 4$

2. Вторая окружность:

   • Координаты центра: $(3, 1)$
   • Радиус: $\sqrt{4} = 2$

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты взаимного расположения:

1. Окружности не пересекаются: Если расстояние между центрами окружностей больше, чем сумма их радиусов, то они не пересекаются.

   Расстояние между центрами: $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47$

   Сумма радиусов: $4 + 2 = 6$

   Так как расстояние больше суммы радиусов, окружности не пересекаются.

2. Одна окружность внутри другой: Если одна окружность полностью лежит внутри другой, то они не пересекаются, но касаются друг друга.

   В данном случае, так как радиус первой окружности (4) больше, чем расстояние до второй окружности (3.16), вторая окружность полностью лежит внутри первой окружности.

3. Окружности касаются в одной точке: Если расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, они касаются в одной точке.

   Расстояние между центрами: $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \approx 4.47$

   Сумма радиусов: $4 + 2 = 6$

   Так как расстояние равно сумме радиусов, окружности касаются в одной точке.

Таким образом, в данном случае вторая окружность полностью лежит внутри первой окружности.