Question

1-В квадрате АВСД, М- середина стороны АВ, К- середина стороны СД. Являются ли векторы МК и СВ коллинеарными. Ответ обоснуйте. 2-В прямоугольном, равнобедренном треугольнике АВС, угол С – прямой. Точка О- середина гипотенузы. а) Найти все равные векторы и выписать их. б) Найти длину вектора СО, если АВ=6 см.

Answer 1

.........................................

Answer 2

1- Для того чтобы выяснить, являются ли векторы МК и СВ коллинеарными, нужно рассмотреть их направления. Вектор МК направлен от точки М (середина стороны АВ) к точке К (середина стороны СД). Вектор СВ направлен от точки С к точке В. Если отношение длин векторов МК и СВ одинаково, то они будут коллинеарными.

Давайте обозначим точку В как B(x, y) и точку С как C(a, b), где x, y, a, b - координаты соответствующих точек. Тогда координаты точек М и К будут М((x+a)/2, (y+b)/2) и К((x+a)/2, (y+b)/2) соответственно.

Длина вектора МК: МК = (x - (x+a)/2, y - (y+b)/2) = (x/2 - a/2, y/2 - b/2)

Длина вектора СВ: СВ = (a - x, b - y)

Теперь проверим, являются ли они коллинеарными, то есть отношение их компонент должно быть одинаковым: МК / СВ = ((x/2 - a/2) / (a - x), (y/2 - b/2) / (b - y))

Упростив это выражение, мы видим, что числители и знаменатели имеют общий множитель -1/2: МК / СВ = (-1/2, -1/2)

Таким образом, векторы МК и СВ действительно коллинеарны, так как их координаты пропорциональны с одним и тем же коэффициентом.

2- В прямоугольном, равнобедренном треугольнике АВС гипотенуза AC равна стороне AB. Также, угол С прямой, следовательно, треугольник прямоугольный и равнобедренный. Пусть AB = AC = 6 см.

а) Равные векторы:

1. Вектор AB - это вектор от точки A к точке B, его длина равна 6 см.
2. Вектор AC - это вектор от точки A к точке C (середина гипотенузы), его длина также равна 6 см.
3. Вектор BC - это вектор от точки B к точке C, который можно получить, вычтя вектор AB из вектора AC или наоборот.

б) Длина вектора CO можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACO:

AC² = AO² + CO²

Поскольку AC = 6 см и AO (половина гипотенузы) равно половине стороны AB, то AO = 3 см. Подставив это значение, получим:

6² = 3² + CO² 36 = 9 + CO² CO² = 27

Следовательно, длина вектора CO равна квадратному корню из 27:

CO = √27 = 3√3 см.

Итак, ответы: а) Равные векторы: AB, AC, BC б) Длина вектора CO: 3√3 см.