Question

Помогите пожалуйста! Знайдіть косинуси кутів трикутника ABC, якщо А (-1, 2), В (3, 7), С (2, -1). Установіть вид трикутника. (с решением)

Answer 1

Даны вершины треугольника.

Точка А                 Точка В              Точка С  

х    у                           х      у                      х         у

-1     2                         3     7                        2 -1

Находим длины сторон.

 АВ                    ВС                        АС  

Δx   Δy             Δx Δy             Δx    Δy

4   5              -1   -8              3             -3

16   25               1          64               9      9           квадраты

41              65                 18            сумма квадратов

АВ (c) = 6,403 ВС(a)  = 8,062 АС (b) = 4,243 .

Углы по теореме косинусов:      

cos A = -0,110 A = 1,681 радиан  96,34 градусов

cos B = 0,852 B = 0,550 радиан  31,535 градусов

cos C = 0,614 C = 0,910       радиан   52,125 градусов .

Ответ: треугольник тупоугольный.

Answer 2

Звісно, я допоможу вам з цим завданням!

Спершу знайдемо довжини сторін трикутника ABC та застосуємо їх для обчислення косинусів кутів.

Використовуючи формулу відстані між двома точками у 2D-площині:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},$$

де $(x_1, y_1)$ та $(x_2, y_2)$ - координати двох точок, обчислимо довжини сторін:

1. Довжина сторони AB:

$$d_{AB} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.$$

2. Довжина сторони BC:

$$d_{BC} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}.$$

3. Довжина сторони CA:

$$d_{CA} = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$$

Тепер ми можемо використати теорему косинусів, щоб знайти косинуси кутів трикутника ABC. Теорема косинусів гласить:

$$\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},$$

де A - кут проти сторони a, b і c - довжини сторін трикутника, протилежні відповідним кутам.

Застосуємо цю формулу для кожного кута трикутника:

1. Кут A (протилежний стороні a = BC):

$$\cos(A) = \frac{(\sqrt{65})^2 + (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{41})^2}{2 \cdot \sqrt{65} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{65 + 18 - 41}{2 \cdot \sqrt{65} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{42}{6\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}.$$

2. Кут B (протилежний стороні b = CA):

$$\cos(B) = \frac{(\sqrt{41})^2 + (\sqrt{65})^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{65}} = \frac{41 + 65 - 18}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{65}} = \frac{88}{2 \cdot \sqrt{2665}} = \frac{44}{\sqrt{2665}}.$$