Question

1. Точка M - середина отрезка AB. Вычислите координаты точки А, если B(2;-2;2) и M(8;4;0). 2. Определите координаты середины отрезка AB, если А(1;5;-2), B(0;3;5)3. Определите длину вектора, если его координаты равны {15;20;0}4. Найдите расстояние между точками А(-2;-1;3) и B(6;5;3)5. Вычислите длину вектора, началом которого является точка A(1,2;-3;5), а концом - точка B(0,6;-3;4,2).​

Answer 1

Предупреждение:

Векторы обозначены жирным шрифтом (но не все, что выделено жирным шрифтом - векторы!)

1.

Координаты середины отрезка равны полу-сумме соответствующих координат его концов ⇒ сумма соответствующих координат концов равна удвоенной соответствующей координате середины. Положив, что A(x, y, z) получаем:

x = 16 - 2 = 14

y = 8 - (-2) = 10

z = 0 - 2 = -2

A(14; 10; -2)

2.

Пусть M(x, y, z) - середина AB, тогда

x = (1 + 0) ÷ 2 = 0,5

y = (5 + 3) ÷ 2 = 4

z = (-2 + 5) ÷ 2 = 1,5

M(0,5, 4, 1,5)

3.

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

a{x, y, z} ⇒ a² = |a|² = x² + y² + z²

a{15, 20, 0} ⇒ a² = 15² + 20² + 0² = 625 = 25² ⇒ a = 25

4.

A(-2; -1; 3), B(6; 5; 3) ⇒ AB{6 - (-2); 5 - (-1); 3 - 3} ⇒ AB{8; 6; 0} ⇒ AB² = |AB|² = 8² + 6² = 100 = 10² ⇒ AB = 10;

5.

A(1,2; -3; 5); B(0,6; -3; 4,2) ⇒ AB{-0,6; 0; -0,8} ⇒ AB² = (-0,6)² + (-0,8)² = 0,36 + 0,64 = 1 ⇒ AB = 1

Answer 2

1. Так как точка M - середина отрезка AB, то координаты M - это средние значения координат точек A и B. Мы можем использовать этот факт, чтобы найти координаты точки A.

Координаты точки M(8;4;0), координаты точки B(2;-2;2). Тогда координаты точки A(x, y, z) можно вычислить следующим образом:

x = (x_A + x_B) / 2 8 = (x_A + 2) / 2 16 = x_A + 2 x_A = 14

y = (y_A + y_B) / 2 4 = (y_A - 2) / 2 8 = y_A - 2 y_A = 10

z = (z_A + z_B) / 2 0 = (z_A + 2) / 2 0 = z_A + 2 z_A = -2

Таким образом, координаты точки A равны A(14;10;-2).

2. Координаты середины отрезка AB можно найти, также используя средние значения координат точек A и B.

Координаты точки A(1;5;-2), координаты точки B(0;3;5). Тогда координаты середины точки M(x, y, z) можно вычислить следующим образом:

x = (x_A + x_B) / 2 x = (1 + 0) / 2 x = 0.5

y = (y_A + y_B) / 2 y = (5 + 3) / 2 y = 4

z = (z_A + z_B) / 2 z = (-2 + 5) / 2 z = 1.5

Таким образом, координаты середины отрезка AB равны M(0.5;4;1.5).

3. Длина вектора можно вычислить используя формулу длины в трехмерном пространстве. Для вектора с координатами {x, y, z} длина равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

Длина = √(x^2 + y^2 + z^2)

Для вектора {15;20;0}:

Длина = √(15^2 + 20^2 + 0^2) Длина = √(225 + 400) Длина = √625 Длина = 25

Длина вектора {15;20;0} равна 25.

4. Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно вычислить, используя формулу расстояния между точками:

Расстояние = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)

Для точек A(-2;-1;3) и B(6;5;3):

Расстояние = √((6 - (-2))^2 + (5 - (-1))^2 + (3 - 3)^2) Расстояние = √(8^2 + 6^2 + 0^2) Расстояние = √(64 + 36) Расстояние = √100 Расстояние = 10

Расстояние между точками A(-2;-1;3) и B(6;5;3) равно 10.

5. Длина вектора можно вычислить также как и в пункте 3. Для вектора с началом в точке A(1,2;-3;5) и концом в точке B(0,6;-3;4.2), мы должны вычислить разницу координат между точками и затем найти длину этого вектора.

Длина = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)

Для точек A(1,2;-3;5) и B(0,6;-3;4.2):

Длина = √((0 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + ((-3) - (-3))^2 + (4.2 - 5)^2) Длина = √((-1)^2 + 4^2 + 0^2 + (-0.8)^2) Длина = √(1 + 16 + 0.64) Длина = √17.64 Длина ≈ 4.2

Длина вектора, началом которого является точка A(1,2;-3;5), а концом - точка B(0,6;-3;4.2), примерно равна 4.2.