Question

В треугольнике ABC проведена средняя линия KL (KL || AC). В полученном треугольнике BKL проведена средняя линия MN (MN || BK). Определите периметр треугольника LMN, если периметр треугольника ABC составляет 80 см.

Answer 1

Ответ:

20

Объяснение:

Согласно подобию треугольников

Pabc=2Pkbl

Pkbl=2Plmn

Pabc=4Plmn

Plmn=80/4=20

Answer 2

Обозначим точки следующим образом:

• Пусть A, B и C - вершины треугольника ABC.
• Пусть K - середина стороны AC (точка, в которой проведена средняя линия KL).
• Пусть L - вершина треугольника BKL, противоположная вершине B в треугольнике ABC (точка, в которой проведена средняя линия KL).
• Пусть M - середина стороны BK (точка, в которой проведена средняя линия MN).
• Пусть N - вершина треугольника LMN, противоположная вершине L в треугольнике BKL (точка, в которой проведена средняя линия MN).

Так как KL || AC и MN || BK, то согласно теореме о параллельных линиях и их пересекающихся поперечных, мы можем использовать подобие треугольников:

Так как K - середина стороны AC, и KL || AC, то треугольник KLB подобен треугольнику ABC, и соотношение сторон равно:

KL / AC = 1 / 2.

Также, так как M - середина стороны BK, и MN || BK, то треугольник MNB подобен треугольнику BKL, и соотношение сторон равно:

MN / BK = 1 / 2.

Обратите внимание, что это также означает, что KL / BK = 1 / 2.

По условию задачи, периметр треугольника ABC составляет 80 см:

AB + AC + BC = 80.

С учетом подобия треугольников, отношение длин сторон в треугольниках KLB и ABC:

KL / AC = 1 / 2,

AB / AC = 2.

Отсюда, можно записать:

KL = AC / 2, AB = 2 * AC.

Теперь мы можем записать периметр треугольника BKL в терминах KL и AB:

Периметр BKL = KL + BK + BL.

Так как KL = AC / 2 и KL / BK = 1 / 2, то BK = 2 * KL = AC.

BL = AB - AL = 2 * AC - AC = AC.

Таким образом, периметр BKL = KL + BK + BL = AC / 2 + AC + AC = 5/2 * AC.

Теперь, периметр треугольника LMN:

Периметр LMN = MN + LN + LM.

Используя аналогичные рассуждения, можно показать, что LN = BL = AC, и MN / BK = 1 / 2, поэтому MN = BK / 2 = AC / 2.

Таким образом, периметр LMN = MN + LN + LM = AC / 2 + AC + AC / 2 = 2 * AC.

Известно, что периметр ABC = AB + AC + BC = 2 * AC + AC + 2 * AC = 5 * AC = 80 см.

Отсюда, AC = 16 см.

Теперь, периметр LMN = 2 * AC = 2 * 16 см = 32 см.

Итак, периметр треугольника LMN составляет 32 см.