Question

Пусть М-точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника АВСД, в котором стороны АВ,АД и ВС равны между собой. Найдите угол СМД(в градусах), если известно,что ДМ=МС, а угол САВ не равен углу ДВА.

Answer 1

Ответ:

Ответ

120°

Объяснение:

Решение

 Пусть  ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BMC = α + β.

 Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит,  ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA,  то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому  CK = AD = BC,  то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,

∠KCM = ∠ADM = α.  Рассмотрим два случая.

 1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β.  Отсюда

180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.

 2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда  ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β.  Отсюда

180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.

 Итак, в любом случае  α + β = 60°.  Следовательно,  ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию подробнее.

У нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, где AB = AD = BC. Пусть точка M - это точка пересечения диагоналей AC и BD. Также известно, что DM = MS.

Из условия известно, что угол CAV (угол между диагональю AC и стороной AB) не равен углу DVA (угол между диагональю BD и стороной AD).

Давайте обозначим угол CDM (угол между диагоналями AC и BD) как α.

Так как у нас есть выпуклый четырехугольник, сумма углов внутри него равна 360 градусов:

∠CAB + ∠BAD + ∠ADC + ∠CDA = 360°

Поскольку AB = AD = BC, это также означает, что углы CAB и ADC равны между собой.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник CDM. У нас есть DM = MS, что означает, что угол DCM равен углу CMS.

Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, мы можем записать:

∠CDM + ∠DCM + ∠CMS = 180°

Подставив значения углов, получаем:

α + α + α = 180° 3α = 180° α = 60°

Итак, угол CMD равен 60 градусам.