Question

Вписане в прямокутний трикутник коло має радіус 6 см. На скільки сума катетів більша за гіпотенузу?​

Answer 1

Ответ:

на 12 см

Объяснение:

Answer 2

Позначимо катети прямокутного трикутника як $a$ і $b$, а гіпотенузу - як $c$. За теоремою Піфагора маємо:

$c^2 = a^2 + b^2$

В даному випадку, вписане коло має радіус 6 см, що означає, що він дотикається до всіх сторін трикутника. Оскільки точка дотику кола до сторони трикутника є середньою перпендикуляром, вона розділяє сторону на дві частини - $a/2$ і $b/2$. Тому, за властивостями вписаного кола, можемо записати:

$a/2 + b/2 = 6$ $a + b = 12$

Ми хочемо знайти наскільки сума катетів більша за гіпотенузу, тобто $a + b - c$. З попередніх рівнянь маємо $a + b = 12$, тому щоб виразити $c$, віднімемо $b$ з обох боків:

$a = 12 - b$

Підставимо це значення в теорему Піфагора:

$c^2 = (12 - b)^2 + b^2$

Розкриваємо квадрат:

$c^2 = 144 - 24b + b^2 + b^2$ $c^2 = 2b^2 - 24b + 144$

Тепер можемо порахувати $c^2$ за формулою вище. Якщо $c^2$ буде більше нуля, то $c$ буде додатнім, що відповідає реальному трикутнику. Якщо отриманий вираз буде менше нуля, це буде означати, що такого трикутника не існує.

Тепер ми можемо знайти вираз $a + b - c$, або, що те ж саме, $a + b - \sqrt{c^2}$, який показує наскільки сума катетів більша за гіпотенузу.