Question

1)Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне AD. Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 9 см, а расстояние от точки К до стороны ВС равно 6 см.   Ответ: 108 см2. 2)В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36°, биссектриса угла при основании равна √80. Найдите стороны треугольника.  Ответ: 10 + 2√5 и 4√5.​РЕШЕНИЕ

Answer 1

Ответ:

1. 108 см²

2. АВ=ВС=10+2√5; АС=4√5 (см рисунок)

Объяснение:

1.

У параллелограмма попарные стороны равны⇒АВ=СД=9 см, а АД=ВС

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него р/б Δ⇒

Биссектриса ∠В отсекла р/б Δ АВК ⇒АК=АВ=9 см

Биссектриса ∠С отсекла р/б Δ СДК ⇒КД=СД=9 см

АД=9+9=18 см

КH является высотой параллелограмма, т к точка К лежит на ВС. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.

Можем посчитать площадь:

S=АД*КН=18*6=108 см²

2.

Обозначим Δ буквами АВС, где ∠В=36° (см рисунок) и АВ=ВС, и найдем два остальных угла р/б ΔАВС=(180-36)\2=72°

Биссектриса поделила ∠А пополам ⇒∠ВАД=∠ДАС=36°. Найдем ∠АДС=180-36-72=72°

Мы видим, что Δ САД подобен ΔАВС (по трем углам).

Выразим соотношение сторон: АС/ДС=ВС/АД

Возьмем СД за х, тогда АВ=ВС=√80+х:

√80/х=(√80+х)/√80⇒х(√80+х)=√80*√80=

х²+√х-80=0 Решим уравнение:

Дискриминант равен: (√80)²-4*1*(-80)=80+320=400=20²

Найдем корни:

***√80=√16*√5=4√5

X=(-√80+√20²)/2*1=(-√80+20)/2=(-4√5+20)/2=2(-2√5+10)/2=-2√5+10=10-2√5 - это ДС

Посчитаем все стороны ΔАВС:

АВ=ВС=4√5+(10-2√5)=4√5+10-2√5=10+2√5

АС=√80=4√5

Answer 2

Задача 1: Площадь параллелограмма

Пусть точка $K$ делит сторону $AD$ параллелограмма на две отрезка $AK$ и $KD$ в отношении $1:1$, так как биссектрисы углов $B$ и $C$ параллельны и пересекают сторону $AD$ в точке $K$. Таким образом, $AK = KD$.

Площадь параллелограмма можно выразить через высоту $h$ и одну из сторон $AB$:

$S = AB \times h$

Так как $AB = 9$ см и $AK = KD$, то $AD = 2 \times AK = 2 \times KD$.

По теореме Пифагора для треугольника $ABK$:

$AK^2 + KB^2 = AB^2$ $AK^2 + KB^2 = 9^2$ $AK^2 + KB^2 = 81$

Аналогично для треугольника $CDK$:

$DK^2 + KC^2 = DC^2$ $DK^2 + KC^2 = 9^2$ $DK^2 + KC^2 = 81$

Сложим эти два уравнения:

$AK^2 + KB^2 + DK^2 + KC^2 = 162$

Учитывая, что $AK = KD$, уравнение можно переписать как:

$2 \times (AK^2 + KB^2) = 162$ $AK^2 + KB^2 = 81$

Так как точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, то $AK$ и $KB$ равны друг другу.

$2 \times AK^2 = 81$ $AK^2 = \frac{81}{2}$ $AK = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Теперь мы знаем высоту $h$, которая равна расстоянию от точки $K$ до стороны $BC$:

$h = 6$

Таким образом, площадь параллелограмма $S$ равна:

$S = AB \times h = 9 \times 6 = 54\ \text{см}^2$

Задача 2: Стороны равнобедренного треугольника

Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник, где $AB = AC$, а $BAC$ - угол при вершине.

Так как биссектриса угла $BAC$ делит противоположную сторону $BC$ на два отрезка в отношении длин смежных сторон, то пусть $BD$ и $CD$ - длины этих отрезков, где $BD = CD$.

Теперь мы знаем, что $ADB$ - прямоугольный треугольник, так как биссектриса является высотой. Из свойств биссектрисы можно записать:

$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AB}$

Подставив известные значения $BD = CD$, $AB = AC$ и $BC = 2 \cdot BD$, получим:

$\frac{BD}{AD} = \frac{2 \cdot BD}{AB}$

Отсюда:

0 0