Question

Точка F не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N, K принадлежат отрезкам AF, BF, CF так, что угол FMN = углу FAB, а угол FNK = углу FBC. Докажите, что плоскости АВС и МNК паралельны.

Answer 1

Ответ:

Углы FMN и FAB являются соответственными для отрезков MN и AB. Поскольку по условию они равны, то отрезки MN и AB параллельны.

Теперь рассмотрим отрезок MN и плоскость ABC. Как известно, если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Аналогичные рассуждения проведем для отрезка NK и плоскости ABC.

Известно, что если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны. Значит, плоскости АВС МNК параллельны.

Answer 2

Известно  

что если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых лежащих в другой плоскости β то эти плоскости параллельны. Значит плоскости АВС МNК параллельны.

Answer 3

Для доказательства параллельности плоскостей ABC и MNK нам понадобится использовать параллельные линии в пространстве.

Обозначим угол FAB как α и угол FBC как β.

Из условия у нас есть следующие равенства углов:

1. Угол FMN = α
2. Угол FNK = β

Поскольку мы знаем, что угол FMN = α, мы можем также сказать, что угол AMN = α, так как AM параллельно MN (AM - отрезок, лежащий в плоскости ABC, а MN - отрезок, лежащий в плоскости MNK).

Аналогично, из угла FNK = β мы получаем, что угол CNK = β, так как CN параллельно NK (CN - отрезок, лежащий в плоскости ABC, а NK - отрезок, лежащий в плоскости MNK).

Теперь рассмотрим следующие отрезки:

1. Отрезок AB (лежит в плоскости ABC).
2. Отрезок MN (лежит в плоскости MNK).
3. Отрезок CK (лежит в плоскости ABC).
4. Отрезок CN (лежит в плоскости ABC).

Из угловой суммы треугольника мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Рассмотрим треугольник AMN:

Угол AMN + Угол MAN + Угол MNA = 180°

С учетом того, что угол AMN = α и угол MAN = β (так как угол FMN = α и угол FNK = β), мы можем записать:

α + β + Угол MNA = 180°

Следовательно, угол MNA = 180° - α - β.

Теперь рассмотрим треугольник CNK:

Угол CNK + Угол CKM + Угол KNC = 180°

Из условия угла FNK = β, у нас есть:

Угол CNK + β + Угол KNC = 180°

Следовательно, угол KNC = 180° - β.

Теперь давайте сравним угол MNA и угол KNC:

Угол MNA = 180° - α - β Угол KNC = 180° - β

Эти два угла равны (180° - β), так как их выражения в точности совпадают.

Из этого следует, что отрезки MN и CK параллельны, так как они имеют равные углы с отрезками AM и CN соответственно.

Поскольку отрезки MN и CK параллельны, а отрезки AM и CN также параллельны (из условия), это означает, что плоскости ABC и MNK параллельны, так как они обе содержат параллельные линии.