Question

На медиане АМ треугольника АВС отмечена точка О так, что BD = CD. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный.​

Answer 1

BM=MC(по условию)

O и M  равноудалены от B и C⇒ все точки на этой прямой равноудалены от B и С

А лежит на прямой МС⇒ равноудалена от точек В и С(АВ=АС)⇒ΔАВС равнобедренный с основанием ВС

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию более подробно и докажем, что треугольник АВС равнобедренный, исходя из предоставленной информации.

Пусть А, В и С – вершины треугольника АВС, а М – середина стороны АВ. Также пусть О – точка на медиане АМ, такая что BD = CD.

Сначала докажем, что треугольник ABO равнобедренный.

Так как М – середина стороны АВ, то МО является медианой треугольника АБС. По свойствам медианы, она делит противолежащую сторону (в данном случае С) пополам. Таким образом, СМ = МО.

Поскольку точка О также лежит на медиане АМ, то МО = ОС.

Из вышесказанного следует, что СМ = МО = ОС, что означает, что треугольник СОМ равносторонний.

Теперь обратим внимание на треугольник БОС. Мы уже установили, что СО = МО, и так как BD = CD (по условию), то по стороне треугольника СОМ и двум сторонам треугольника БОС будут равны. Следовательно, треугольник БОС также равносторонний.

Теперь мы имеем два равносторонних треугольника – СОМ и БОС. По свойству равностороннего треугольника, у них углы при основании равны. В данном случае это угол СОМ равен углу БОС.

Из угла при основании БОС мы можем заключить, что угол АБО также равен углу АСО (так как углы на основании равносторонних треугольников равны).

Итак, у нас есть следующие равенства углов: ∠АБО = ∠АСО ∠БОА = ∠СОА

Из этого следует, что треугольник АВО равнобедренный (у него два равных угла).

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВО равнобедренный, исходя из условия BD = CD.