Question

Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 12 см. Может ли гипотенуза иметь длину 24 см. Ответ обосновать . Решение без окружностей.

Answer 1

Ответ: Да, может, если данный прямоугольный треугольник равнобедренный

Объяснение:Пусть Δ АВС-прямоугольный, ∠С=90°, высота СД⊥АВ, гипотенуза АВ=24 см. Высота СД делит гипотенузу АВ на 2 отрезка АД и ВД, пусть ВД=х см, а АД=(24-х)см. Так как  высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на пропорциональные отрезки:  ВД/СД= СД/АД ⇒х/12=12/(24-х) ⇒ х(24-х) =144 ⇒ х²-24х +144=0 ⇒ (х-12)²=0 ⇒х=12 (см). Тогда АД=12 см, АС=12 см. Значит  у ΔВДС имеем, что ВД=СД=12 см, ⇒∠В=45°, тогда ∠А=45°, т.е. Δ АВс равнобедренный. Значит гипотенуза АВ может быть равной 24 см, если данный прямоугольный треугольник равнобедренный.

Answer 2

Да, гипотенуза может иметь длину 24 см. Это можно обосновать следующим образом:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC - высота, проведенная к гипотенузе, и AC - второй катет. Так как высота проведена к гипотенузе, треугольник ABC разбивается на два подобных треугольника: BHC и ABC, где B и H - точки пересечения высоты и гипотенузы, соответственно.

Пусть AC = a, BH = x и CH = 24 - x (так как гипотенуза AB = 24 см). Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC:

a^2 + (24 - x)^2 = 24^2.

Также, так как треугольники BHC и ABC подобны, имеем отношение соответствующих сторон:

BC / BH = AC / AB, x / 12 = a / 24, a = 2x.

Подставляя это значение a в первое уравнение, получаем:

(2x)^2 + (24 - x)^2 = 24^2, 4x^2 + 576 - 48x + x^2 = 576, 5x^2 - 48x = 0, x(5x - 48) = 0.

Отсюда, x = 0 (что невозможно, так как высота не может быть нулевой) или x = 48 / 5 = 9.6 см.

Таким образом, гипотенуза AB = 24 см и высота BH = 9.6 см обеспечивают выполнение условия высоты, проведенной к гипотенузе, равной 12 см.