Question

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 2, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 72 см.​

Answer 1

Ответ:

АВ = ВС =  21 см, АС = 30 см.

Объяснение:

Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны (свойство). Пусть дан равнобедренный треугольние АВС с основанием АС. Точки касания вписанной окружности со сторонами АВ, ВС и АС - точки M, N и K соответственно. Тогда АМ = АК = КС = CN = 5х,

ВМ = BN = 2х. Периметр Pabc = 2·( 5x+2x+5x) = 72 см.  =>

x = 3 см. => АВ = ВС = 7х = 21 см, АС = 10х = 30 см.

Answer 2

Пусть $AB$ и $AC$ — боковые стороны равнобедренного треугольника $ABC$, а $BC$ — его основание. Пусть $I$ — центр вписанной окружности, $D$ — точка касания окружности с $BC$, $E$ — точка касания окружности с $AB$, $F$ — точка касания окружности с $AC$.

Из условия, что сторона $AB$ делится точкой касания $E$ в отношении 5:2, мы можем представить $AE$ как $\frac{5}{7}$ от полупериметра треугольника $ABC$, так как $AE = AF$. Пусть полупериметр равен $s$, тогда $AE = AF = \frac{5}{7} \cdot s$.

Также, так как треугольник равнобедренный, мы имеем $BD = DC$, и $BD = s - AE$.

Полупериметр можно выразить через периметр $P$: $s = \frac{P}{2} = \frac{72}{2} = 36$.

Теперь мы можем выразить $AE$ и $BD$ через $s$: $AE = AF = \frac{5}{7} \cdot s = \frac{5}{7} \cdot 36 = 20$ $BD = s - AE = 36 - 20 = 16$

Так как треугольник равнобедренный, $BD$ также является высотой, разделяющей его на два прямоугольных треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины сторон $AB$ и $AC$: $AB^2 = BD^2 + AE^2$ $AB^2 = 16^2 + 20^2$ $AB^2 = 256 + 400$ $AB^2 = 656$ $AB = \sqrt{656} \approx 25.61$

Так как треугольник равнобедренный, то $AC = AB$, и $AC \approx 25.61$.

Итак, стороны треугольника примерно равны $25.61$ см, $25.61$ см и $20$ см.