Question

В равнобедренном треугольнике ABC из точки D - середины основания AB к боковой стороне AC проведен отрезок DE - биссектриса угла ADC. Из точки E на сторону BC опущена высота EF. Докажите, что FD - биссектриса угла EFB.

Answer 1

Решение : /////////////////////////////////////

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы воспользуемся свойствами биссектрис углов и подобия треугольников.

Обозначим угол BAC как α, а угол ABC и угол ACB как β.

1. Так как треугольник ABC - равнобедренный, то угол BAC (α) равен углу ABC (β).
2. Так как DE - биссектриса угла ADC, то угол BAD (α/2) равен углу CAE (α/2).
3. Из пункта 2 следует, что угол BAD (α/2) равен углу DAE (α/2), так как треугольник ADE - равнобедренный (AD = AE).
4. Так как EF - высота треугольника ADE, то угол EFA равен 90 градусов.
5. Из пункта 3 следует, что угол EFD равен углу FDE.

Теперь давайте рассмотрим треугольники EFA и EFD:

У нас есть следующие равенства углов:

Угол EFA = 90 градусов (по построению) Угол EFD = угол FDE (из пункта 5)

Из этих равенств следует, что треугольники EFA и EFD подобны по углам.

Также у нас есть следующие равенства сторон:

EF (общая для обоих треугольников) AE (равно AF, так как треугольник AEF - равнобедренный) DE (равно DF, так как треугольник DEF - равнобедренный)

Из этих равенств следует, что треугольники EFA и EFD подобны по сторонам.

Итак, мы имеем два подобных треугольника EFA и EFD, что означает, что соответствующие углы этих треугольников равны между собой.

Угол EAF (α/2) равен углу DFE (из пункта 4). Угол AEF равен углу DEF (из пункта 3).

Теперь рассмотрим треугольник EFB. У нас есть следующие равенства углов:

Угол EFB = угол EFA + угол AEF = 90 градусов + α/2 Угол FEB = угол DFE + угол DEF = α/2

Из этих равенств следует, что угол EFB равен углу FEB.

Таким образом, мы доказали, что угол EFB равен углу FEB, что означает, что FD - биссектриса угла EFB.