Question

Докажите, что четырехугольник с вершинами А (1;2), В (4;-1), С(8;3), D(5;6) является прямоугольником

Answer 1

Объяснение:

найти длину всех сторон

Answer 2

Чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что его противоположные стороны перпендикулярны. Для этого воспользуемся свойствами векторов.

1. Вычислим векторы AB, BC, CD и DA, используя координаты вершин:

Вектор AB = B - A = (4, -1) - (1, 2) = (3, -3). Вектор BC = C - B = (8, 3) - (4, -1) = (4, 4). Вектор CD = D - C = (5, 6) - (8, 3) = (-3, 3). Вектор DA = A - D = (1, 2) - (5, 6) = (-4, -4).

2. Проверим, являются ли векторы AB и BC перпендикулярными:

Скалярное произведение векторов AB и BC равно: AB * BC = (3, -3) * (4, 4) = 3 * 4 + (-3) * 4 = 12 - 12 = 0.

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы AB и BC перпендикулярны.

3. Аналогично проверим перпендикулярность векторов BC и CD:

Скалярное произведение векторов BC и CD равно: BC * CD = (4, 4) * (-3, 3) = 4 * (-3) + 4 * 3 = -12 + 12 = 0.

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы BC и CD перпендикулярны.

4. Также проверим перпендикулярность векторов CD и DA:

Скалярное произведение векторов CD и DA равно: CD * DA = (-3, 3) * (-4, -4) = (-3) * (-4) + 3 * (-4) = 12 - 12 = 0.

Скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы CD и DA перпендикулярны.

Таким образом, все противоположные стороны четырехугольника ABCD перпендикулярны друг другу. Это означает, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.