Question

Розв’яжіть нерівність x2 – 2x – 15 < 0​

Answer 1

Ответ:

Числа из интервала (-3; 5) являются решением неравенства

Объяснение:

Перевод: Решить неравенство х² - 2·x - 15 < 0.

Решение. Квадратный трёхчлен разложим на множители и применим метод интервалов:

х² - 5·x + 3·x - 15 < 0

x·(x - 5) + 3·(x - 5) < 0

(x - 5)·(x + 3) < 0

Точки x = -3 и x = 5 делят числовую ось на следующие интервалы

(-∞; -3), (-3; 5), (5; +∞),  внутри которых квадратный трёхчлен не меняет знак.

Проверим знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале:

1) пусть x = -4 ∈ (-∞; -3), то (-4)² - 2·(-4) - 15 = 9 > 0 - положительно, не подходит;

2) пусть x = 0 ∈ (-3; 5), то 0² - 2·0 - 15 = -15 < 0 - отрицательно, подходит;

3) пусть x = 6 ∈ (5; +∞), то 6² - 2·6 - 15 = 9 > 0 - положительно, не подходит.

Значит, числа из интервала (-3; 5) являются решением неравенства.

#SPJ1

Answer 2

Для того чтобы розв'язати дану квадратну нерівність $x^2 - 2x - 15 < 0$, спершу знайдемо корені квадратного рівняння $x^2 - 2x - 15 = 0$, а потім визначимо, на яких інтервалах ця функція менше нуля.

1. Знайдемо корені квадратного рівняння $x^2 - 2x - 15 = 0$:

Ми можемо розв'язати це рівняння, використовуючи квадратну формулу: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, де $a = 1$, $b = -2$ і $c = -15$.

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}$$

Таким чином, отримуємо два корені: $x_1 = -3$ і $x_2 = 5$.

2. Тепер визначимо знак функції $f(x) = x^2 - 2x - 15$ на інтервалах між коренями і за межами них:

• Інтервал $(- \infty, -3)$: Підставимо точку $x = -4$ у функцію: $f(-4) = (-4)^2 - 2 \cdot (-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 > 0$.

• Інтервал $(-3, 5)$: Підставимо точку $x = 0$ у функцію: $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 15 = -15 < 0$.

• Інтервал $(5, +\infty)$: Підставимо точку $x = 6$ у функцію: $f(6) = 6^2 - 2 \cdot 6 - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 > 0$.

Таким чином, функція $f(x)$ менше нуля на інтервалі $(-3, 5)$.

3. Остаточно, нерівність $x^2 - 2x - 15 < 0$ виконується на інтервалі $(-3, 5)$.