Question

Осевое сечение конуса – треугольник со стороной 8см и прилежащим углом 120° . Найти площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Ответ: Sпол=102,4π(см²)

Объяснение: проведём высоту h. Она делит основание осевого сечения пополам в точке О, на 2 радиуса, а также угол при вершине конуса пополам. Высота, радиус и образующая конуса составляют прямоугольный треугольник в котором радиус и высота являются катетами а образующая гипотенузой. В полученном треугольнике угол при вершине составляет 120/2=60°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90°, поэтому угол между образующей и радиусом будет: 90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому высота h=8/2=4см. Найдём радиус r по теореме Пифагора:

r²=обр²-h²=8²-4²=64-16=48; r=√48см.

Sосн=πr²=π×(√48)²=48π(см²)

Sбок.пов=πrL, где L- образующая:

Sбок=π×√48×8=8π×4√3=32√3π(см²)

Sпол=Sбок+Sосн=

=32√3π+48π=32×1,7π+48π=54,4π+48π=

=102,4π(см²)

Answer 2

Площадь полной поверхности конуса можно вычислить, зная его радиус основания и образующую (высоту) конуса. Даны сторона треугольника и прилежащий угол, что позволяет нам найти радиус основания и образующую конуса.

1. Найдем радиус основания: В данном случае, сторона треугольника (a) равна 8 см, а прилежащий угол (α) равен 120°. Мы можем использовать закон синусов:

   $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{r}{\sin 60°}$

   $\frac{8}{\sin 120°} = \frac{r}{\sin 60°}$

   $r = \frac{8 \cdot \sin 60°}{\sin 120°}$

2. Найдем образующую (высоту) конуса: Образующая (h) конуса также будет одной из сторон треугольника. По теореме косинусов:

   $h^2 = a^2 + r^2 - 2ar \cdot \cos \alpha$

   $h^2 = 8^2 + \left(\frac{8 \cdot \sin 60°}{\sin 120°}\right)^2 - 2 \cdot 8 \cdot \frac{8 \cdot \sin 60°}{\sin 120°} \cdot \cos 120°$

3. Площадь полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности. Площадь основания конуса равна $S_{\text{осн}} = \pi r^2$, а площадь боковой поверхности конуса равна $S_{\text{бок}} = \pi r l$, где $l$ - длина образующей.

   Общая площадь полной поверхности будет:

   $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$

   $S_{\text{полн}} = \pi r^2 + \pi r l$

Вычислите $r$ и $h$ с помощью вышеуказанных формул, затем подставьте их в формулу для $S_{\text{полн}}$ и вычислите значение площади полной поверхности конуса.