Question

Осьовий переріз конуса – правильний трикутник, площа якого дорівнює 4 кв.см. Знайти об'єм конуса.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Объем конуса равен одной трети произведения его высоты на площадь основания.

V=1/3*Sосн*.h

т.к. осевое сечение - правильный треугольник,  диаметр основания равен стороне треугольника, а радиус основания равен половине стороны этого треугольника.

r=4/2=2 см

Площадь основания  равна:

Sосн.=πr^2

Sосн.=π2^2=4π см2

Высота конуса - высота равностороннего треугольника со стороной 4 cм.

По формуле высоты такого треугольника

h=(a√3) /2=(4√3) /2=2√3

Объем конуса  равен:

V=1/3*4π2√3 =8π√3/3 cм3  ≈14,5 см3

Answer 2

Об'єм конуса можна знайти за допомогою наступної формули:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основи}} \cdot h,$

де $V$ - об'єм конуса, $S_{\text{основи}}$ - площа основи конуса, $h$ - висота конуса.

Ви вже надали площу основи конуса ($S_{\text{основи}} = 4 \, \text{кв.см}$). Але нам також потрібна висота конуса. Оскільки основний переріз конуса - правильний трикутник, то можемо використовувати властивості такого трикутника.

В правильному трикутнику всі сторони та кути рівні. Якщо площа трикутника дорівнює $A$, то його висота $h$ може бути знайдена за формулою:

$A = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot h.$

У вашому випадку площа трикутника (основного перерізу конуса) дорівнює 4 кв. см. Знаючи, що цей трикутник є правильним, ми можемо підставити значення площі та розв'язати рівняння для висоти $h$:

$4 = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot h.$

Оскільки у правильного трикутника всі сторони рівні, то основа цього трикутника буде стороною основи конуса.

$4 = \frac{1}{2} \cdot \text{сторона} \cdot h.$

Знаючи площу правильного трикутника, ми можемо знайти довжину його сторони. Площа правильного трикутника обчислюється за формулою:

$A = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2.$

Підставимо в цю формулу значення площі ($A = 4$) і розв'яжемо рівняння для сторони трикутника:

$4 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2.$

$16 = \sqrt{3} \cdot \text{сторона}^2.$

$\text{сторона}^2 = \frac{16}{\sqrt{3}}.$

$\text{сторона} = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}.$

Знаючи довжину сторони трикутника (основи конуса), ми можемо знайти висоту конуса. Підставимо значення сторони і розв'яжемо рівняння для висоти $h$:

$4 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} \cdot h.$

$8 = \sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}} \cdot h.$

$h = \frac{8}{\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}}.$

Тепер ми маємо значення висоти конуса $h$, і ми можемо використати формулу для об'єму конуса:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основи}} \cdot h.$

Підставляючи відомі значення, ми отримаємо:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot \frac{8}{\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}}.$

$V = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{16}{\sqrt{3}}}}.$