Question

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x^2 и x+y=0

Answer 1

$\displaystyle\\S=-\int\limits^3_0 {(-x-2x+x^2)} \, dx=\int\limits^3_0 {x+2x-x^2} \, dx =\int\limits^3_0 {3x-x^2} \, dx=\\\\\\=(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\mid^3_0=\frac{3*3^2}{2}-\frac{3^3}{3}-(\frac{3*0}{2}-\frac{0}{3})=\frac{9}{2}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл для нахождения площади между этими кривыми.

Первым шагом найдем точки пересечения:

Уравнение первой кривой: y = 2x - x^2 Уравнение второй кривой: x + y = 0 Из второго уравнения можно выразить y: y = -x

Подставим это значение y в первое уравнение: 2x - x^2 = -x

Теперь преобразуем уравнение: x^2 + 3x = 0 x(x + 3) = 0

Из этого следует, что x = 0 или x = -3.

Если подставить x = 0 в уравнение y = -x, то получим y = 0. Если подставить x = -3, то y = 3.

Итак, точки пересечения кривых: (0, 0) и (-3, 3).

Теперь можно найти площадь между этими кривыми. Для этого нужно вычислить определенный интеграл:

Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) - верхняя кривая (в данном случае y = 2x - x^2), g(x) - нижняя кривая (в данном случае y = -x), [a, b] - интервал, на котором ищется площадь между кривыми.

Подставляем значения точек пересечения: a = -3, b = 0.

Площадь = ∫[-3, 0] ((2x - x^2) - (-x)) dx = ∫[-3, 0] (3x - x^2) dx

Интегрируем: = [3/2 * x^2 - 1/3 * x^3]_{-3}^{0} = (0 - 0) - (27/2 - 27/3) = -27/2 + 9 = -27/2 + 18/2 = -9/2

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 2x - x^2 и x + y = 0, равна 9/2 или 4.5.