Question

В основаниях призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 лежат правильные шестиугольники. AD и BF пересекаются в точке Н. А1Н – высота призмы. Ребро АА1 наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен 2. Найдите объем призмы, если AF=2√3 см.

Answer 1

решение на фото

Ответ: 216 см³

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Для начала, давайте обозначим некоторые величины:

Пусть сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна "a" (то есть, AB = BC = CD = DE = EF = FA = a), а высота призмы A1Н равна "h".

Мы знаем, что ребро АА1 наклонено к плоскости оснований под углом, тангенс которого равен 2. Это означает, что отношение высоты А1Н к длине ребра AA1 равно 2:

h / AA1 = 2 (1)

Также дано, что AF = 2√3 см. Это означает, что сторона шестиугольника ABCDEF равна:

a = AF = 2√3 (2)

Теперь у нас есть два уравнения, и нам нужно найти объем призмы.

Объем призмы можно выразить как произведение площади основания на высоту:

V = S * h,

где S - площадь основания, а h - высота призмы.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через длину его стороны "a":

S = (3 * √3 * a^2) / 2.

Теперь подставим значение "a" из уравнения (2):

S = (3 * √3 * (2√3)^2) / 2, S = 18√3.

Теперь подставим выражение для площади и значение высоты h в выражение для объема:

V = S * h, V = 18√3 * h.

Теперь нам нужно выразить высоту h через длину ребра AA1. Мы знаем, что h / AA1 = 2 (согласно уравнению (1)), следовательно, h = 2 * AA1.

Теперь подставим это значение высоты в выражение для объема:

V = 18√3 * (2 * AA1), V = 36√3 * AA1.

Итак, мы получили выражение для объема призмы через длину ребра AA1:

V = 36√3 * AA1.

Теперь остается найти длину ребра AA1. Мы знаем, что тангенс угла между ребром АА1 и плоскостью оснований равен 2. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

tan(θ) = opposite / adjacent.

В данном случае opposite = AA1, а adjacent = h.

Мы знаем, что h = 2 * AA1, следовательно:

tan(θ) = AA1 / (2 * AA1), 2 = AA1^2 / (2 * AA1), 4 * AA1 = AA1^2, AA1^2 - 4 * AA1 = 0, AA1 * (AA1 - 4) = 0.

Это уравнение имеет два корня: AA1 = 0 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) и AA1 = 4.

Таким образом, длина ребра AA1 равна 4.

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для объема:

V = 36√3 * AA1, V = 36√3 * 4, V = 144√3.

Итак, объем призмы равен 144√3 кубических единиц.