Question

Точки M и N делят сторону BC треугольника ABC на три равные части, причём M лежит ближе к B. Прямая, параллельная стороне AC, пересекает отрезки AB, AM и AN в точках D, E и F соответственно. Найдите отношение DE:EF.

Answer 1

GN||DF => GH/HN =DE/EF (соответствующие отрезки в подобных треугольниках GAN и DAF)

Теорема Фалеса

BG/GA =BN/NC =2/1

GA/AB =1/3

Теорема Менелая

BM/MN *NH/HG *GA/AB =1

1/1 *NH/HG *1/3 =1 => GH/HN =1/3 =DE/EF

Answer 2

Поскольку точки M и N делят сторону BC на три равные части, можно сказать, что BM = MN = NC.

Для начала, давайте рассмотрим треугольник ABC. Так как точка D лежит на прямой, параллельной стороне AC, мы имеем следующее соотношение длин:

BD / DA = BC / CA.

Поскольку точки M и N делят сторону BC на три равные части, BD = DM и DA = AM. Таким образом, можно переписать соотношение как:

DM / AM = BC / CA.

Теперь подставим значения, которые мы знаем. Поскольку точки M и N делят сторону BC на три равные части, BM = MN = NC, и сторона BC делится на 3 равные части:

BM = MN = NC = 1/3 * BC.

Таким образом, имеем:

DM / AM = 1/3 * BC / CA.

Теперь рассмотрим треугольник AEF. Поскольку точки E и F делят сторону AF на две равные части, имеем:

DE / EF = AD / AF.

Так как точка D лежит на прямой, параллельной стороне AC, и так как точка F лежит на стороне AN (где NA = 2/3 * AM), то:

AD / AF = AM / AN = 1 / 2.

Теперь мы можем объединить оба соотношения:

DM / AM = 1/3 * BC / CA = 1 / 2.

Отсюда получаем:

DM = AM / 2.

Поскольку D и E делят отрезок AM в отношении 1:2 (DE / AE = 1 / 2), и AM = 2 * DM, то:

DE / AE = 1 / 2.

Теперь, зная, что DE / AE = 1 / 2, и соответственно DE = 1/3 * EF (так как AE = 2 * EF), получаем:

DE / EF = 1 / 3.

Итак, отношение DE:EF равно 1:3.