Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ 35 БАЛЛОВЧерез вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.​

Answer 1

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.​

Объяснение:

1) ΔВ₁ВА=ΔD₂DA  как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым  углам ∠1=∠3 ( т.к. ∠1=90-∠D₂AD=90-(x+∠2)= ∠3  по свойству острых углов прямоугольного треугольника) ⇒BB₁=AD₂(*)  ;

2) ΔВ₂ВА=ΔD₁DA  как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым  углам ∠2=∠4 ( аналогично) ⇒BB₂=AD₁ (**) ;

3) ΔВ₁КВ∼ ΔВ₂КA  по двум углам ∠В₁=∠В₂=90 ,. ∠В₁КВ=∠В₂КА ⇒∠В₁ВК=∠В₂АК (***) ;

4) ΔВВ₁В₂=ΔАD₂D₁ по двум сторонам и углу между ними (*), (**) (***) .В равных треугольниках соответственные элементы равны: B₁B₂=D₁D₂

5)AD₁⊥BB₂   , AD₂(или AB₁) ⊥BB₂ , значит DD₁⊥ВВ₁

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. Для начала дадим обозначения:

• Пусть точка пересечения прямых l1 и l2 обозначается как E.
• Также обозначим точку пересечения прямой l1 с стороной AB как F.
• Аналогично, точка пересечения прямой l2 с стороной AD будет обозначаться как G.

Сначала докажем, что отрезки B1B2 и D1D2 равны.

1. Рассмотрим треугольники BFE и DGE:

   • Они прямоугольные, так как BB1 и DD1 — перпендикуляры к прямым l1 и l2 соответственно.
   • У них общий угол FBE = GDE, так как они вертикальные углы.
   • Они имеют общую гипотенузу BE = DE, так как это стороны квадрата ABCD.

   Следовательно, треугольники BFE и DGE подобны по двум углам, и отсюда следует, что соотношение их катетов равно:

   B1F / D1G = BF / DG.

2. Теперь рассмотрим треугольники BFG и DGF:

   • Они прямоугольные, так как BB2 и DD2 — перпендикуляры к прямым l1 и l2 соответственно.
   • У них общий угол BFG = DGF, так как это вертикальные углы.
   • Они имеют общую гипотенузу BG = DG, так как это стороны квадрата ABCD.

   Следовательно, треугольники BFG и DGF также подобны по двум углам, и отсюда следует, что соотношение их катетов равно:

   B2F / D2G = BF / DG.

Так как в обоих подобных треугольниках BFE и DGE, BFG и DGF, отношение катетов равно, то мы можем утверждать, что:

B1F / D1G = B2F / D2G.

Из предыдущих двух равенств следует:

B1F / D1G = B2F / D2G = BF / DG.

Следовательно, B1B2 = D1D2.

Теперь докажем, что отрезки B1B2 и D1D2 перпендикулярны.

Так как BFE и DGE — подобные прямоугольные треугольники, у них прямые углы FBE и GDE равны. Но также углы BFE и DGE являются вертикальными углами для параллельных прямых l1 и l2. Следовательно, прямые l1 и l2 пересекаются под прямым углом.

Аналогично, рассматривая треугольники BFG и DGF, можно доказать, что прямые l1 и l2 пересекаются под прямым углом также и в точке E.

Таким образом, отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.