Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА РАЗОБРАТЬСЯ 35 БАЛЛОВЧерез вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.​

Answer 1

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l1 и l2, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.​

Объяснение:

1) ΔВ₁ВА=ΔD₂DA  как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым  углам ∠1=∠3 ( т.к. ∠1=90-∠D₂AD=90-(x+∠2)= ∠3  по свойству острых углов прямоугольного треугольника) ⇒BB₁=AD₂(*)  ;

2) ΔВ₂ВА=ΔD₁DA  как прямоугольные по гипотенузам АВ=АD и острым  углам ∠2=∠4 ( аналогично) ⇒BB₂=AD₁ (**) ;

3) ΔВ₁КВ∼ ΔВ₂КA  по двум углам ∠В₁=∠В₂=90 ,. ∠В₁КВ=∠В₂КА ⇒∠В₁ВК=∠В₂АК (***) ;

4) ΔВВ₁В₂=ΔАD₂D₁ по двум сторонам и углу между ними (*), (**) (***) .В равных треугольниках соответственные элементы равны: B₁B₂=D₁D₂

5)AD₁⊥BB₂   , AD₂(или AB₁) ⊥BB₂ , значит DD₁⊥ВВ₁

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию шаг за шагом и докажем, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны.

Дано:

• Квадрат ABCD.
• Прямые l1 и l2, проходящие через вершину A и пересекающие стороны квадрата.
• Перпендикуляры BB1, BB2, DD1 и DD2, опущенные из точек B и D на прямые l1 и l2 соответственно.

Первое, что нам нужно заметить, это то, что у нас есть параллельные стороны в квадрате. В данном случае, это AB и CD, так как l1 и l2 пересекают их.

Давайте рассмотрим треугольники BBA и DDA:

1. Треугольник BBA:

   • BB1 и BB2 - перпендикуляры к l1 и l2 из точки B.
   • Так как AB параллельно l1, BB1 и BB2 - высоты треугольника BBA.

2. Треугольник DDA:

   • DD1 и DD2 - перпендикуляры к l1 и l2 из точки D.
   • Так как AD параллельно l1, DD1 и DD2 - высоты треугольника DDA.

Теперь мы имеем два треугольника BBA и DDA, у которых соответственные стороны параллельны. Это значит, что эти треугольники подобны друг другу по принципу AA (угол-угол), так как имеют два параллельных угла и один общий угол в вершине A.

Так как треугольники подобны, их соответственные стороны пропорциональны. Отсюда мы можем заключить, что:

BB1/AA = DD1/AA (первая пара перпендикуляров)
BB2/AA = DD2/AA (вторая пара перпендикуляров)

Из этого следует:

BB1 = DD1 (так как соответственные стороны равны)
BB2 = DD2 (так как соответственные стороны равны)

Таким образом, мы доказали, что отрезки B1B2 и D1D2 равны, так как они соответственные стороны подобных треугольников.

Также, так как BBA и DDA - подобные треугольники, их высоты BB1 и DD1 (а также BB2 и DD2) перпендикулярны к их гипотенузам BA и DA (соответственно). Это значит, что отрезки B1B2 и D1D2 перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки B1B2 и D1D2 равны и перпендикулярны, что и требовалось доказать.