Question

Апофема правильной четырехугольной пирамиды наклонена плоскости основания под углом 45°. Высота пирамиды 6 см. Найти ее объем.

Answer 1

Обозначим вершины пирамиды АВСД, высоту КО, а апофему КМ. Соединим точки О и М и получим прямоугольный треугольник КМО, в котором высота КО и ОМ - катеты, а КМ - гипотенуза. Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90° и если угол КМО=45°, то угол МКО=90-45=45°. Этот треугольник равнобедренный, поэтому КО=МО=6см. В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Если МО=½ ВС, поэтому АВ=ВС=СД=АД=6×2=12см

Sосн=а², где а- сторона основания. Найдём по этой формуле площадь основания: S=12²=144см²

Теперь найдём объем пирамиды по формуле: V=⅓×Sосн×KO=⅓×144×6=288см³

ОТВЕТ: V=288см³

Answer 2

Для решения этой задачи вам следует использовать формулу для объема правильной четырехугольной пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, $h$ - высота пирамиды.

Для начала, давайте найдем площадь основания. Поскольку пирамида имеет четырехугольное основание и плоскость основания наклонена под углом 45° к вертикали, это означает, что у нас есть ромб. Площадь ромба можно вычислить, используя следующую формулу:

$S_{\text{основания}} = a \cdot b,$

где $a$ и $b$ - длины диагоналей ромба. Так как у нас нет данных о длинах диагоналей, предположим, что одна диагональ равна длине стороны основания пирамиды (так как это правильная пирамида). Значит, $a = b$.

Теперь мы можем приступить к вычислению объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (a \cdot a) \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h.$

У нас есть значение высоты $h = 6$ см, но нам нужно выразить длину $a$ через это значение. Так как плоскость основания пирамиды наклонена под углом 45°, то мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали основания, высотой пирамиды и его гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$\text{гипотенуза}^2 = \text{высота}^2 + \text{половина диагонали}^2,$

\begin{align*} a^2 &= h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \\ a^2 &= 6^2 + \frac{a^2}{4} \\ \frac{3a^2}{4} &= 36 \\ a^2 &= 48 \\ a &= \sqrt{48} \\ a &= 4\sqrt{3} \end{align*}

Теперь мы можем подставить значение $a$ в формулу для объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 48 \cdot 6 = 96 \, \text{см}^3.$

Итак, объем пирамиды составляет $96$ кубических сантиметров.