Question

Сторони прямокутника дорівнюють 12 см і 16 см.Через середину F меншої сторони до площини прямокутника проведено перепендикуляр FT довжиною 2 см.Знайдіть відстань від точки T до діагоналей прямокутника

Answer 1

Ответ: ОТ=2√17см

Объяснение: обозначим вершины прямоугольника ABCD с диагоналями АС и ВД, а точку их пересечения О. Одна диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника в которых стороны являются катетами а диагональ гипотенузой. Найдём диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:

АС²=ВД²=АВ²+ВС²=12²+16²=256+144=400;

АС=ВД=√400=20см

Диагонали прямоугольника равны и пересекаясь делятся пополам поэтому АО=СО=ВО=ДО=20÷2=10см

СF=ДF=12÷2=6см

ОF является проекцией ТО на площадь прямоугольника. Рассмотрим полученный ∆ДОF. Он прямоугольный, ОF и ОД- катеты, а ОД- гипотенуза. Найдём OF по теореме Пифагора:

ОF²=ОД²-FД²=10²-6²=100-36=64;

ОF=√64=8см. Рассмотрим ∆OTF. Он также прямоугольный и ОF и ТF- катеты, а ОТ - гипотенуза. Найдём ОТ по теореме Пифагора: ОТ²=OF²+TF²=8²+2²=64+4=68;

OT=√68=2√17см

Answer 2

Позначимо меншу сторону прямокутника як AB (12 см), а більшу сторону як CD (16 см).

Спочатку, знайдемо координати середини F меншої сторони AB. Середина меншої сторони знаходиться на відстані 6 см від кожного з кінців. Таким чином, координати точки F будуть (6, 0).

Перепендикуляр FT проведено з точки F (6, 0) довжиною 2 см. Так як він перпендикулярний меншій стороні, то буде направлений вздовж більшої сторони. Оскільки довжина перпендикуляра FT дорівнює 2 см, координати точки T будуть (6, 2).

Тепер, для знаходження відстані від точки T до діагоналей, розглянемо дві діагоналі прямокутника:

1. Діагональ AC: Діагональ AC є гіпотенузою прямокутного трикутника AFT. Ми вже знаємо координати точок A (0, 0) і T (6, 2). Використовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти довжину діагоналі AC:

   AC^2 = AF^2 + FT^2 AC^2 = 6^2 + 2^2 AC^2 = 36 + 4 AC^2 = 40 AC = √40 = 2√10 см

2. Діагональ BD: Діагональ BD є гіпотенузою прямокутного трикутника BFT. Точки B (12, 0) і T (6, 2). Знову застосуємо теорему Піфагора:

   BD^2 = BF^2 + FT^2 BD^2 = 6^2 + 2^2 BD^2 = 36 + 4 BD^2 = 40 BD = √40 = 2√10 см

Отже, відстань від точки T до діагоналей прямокутника дорівнює 2√10 см для обох діагоналей.