Question

В окружность вписан четырехугольник АВСD. Точки М, N и К - середины сторон АВ ВС и СD соответственно. Докажите что ∠ВМN =∠NКС. СРОЧНО!!!

Answer 1

Проведём AC и BD. Тогда KN и MN — средние линии треугольников BCD и ABC соответственно. Отсюда KN || BD, MN || AC ⇒ ∠BMN = ∠BAC, ∠NKC = ∠BDC, но ∠BAC и ∠BDC опираются на одну дугу, значит, они равны, а значит, ∠ВМN =∠NКС.

Answer 2

Для доказательства того, что ∠ВМN = ∠NКС, давайте рассмотрим геометрические свойства данного четырехугольника и используем известные факты о вписанных углах и серединах сторон.

Пусть P - это точка пересечения диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD. Так как ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали будут пересекаться в одной точке P.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AMP и CNP:

1. Вписанный угол в полуокружности: Угол AMP является вписанным углом, так как его вершина M лежит на окружности, а стороны AM и MP являются хордами этой окружности. То же самое относится и к углу CNP.

2. Углы на окружности, опирающиеся на одну и ту же хорду: Согласно свойствам окружности, углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны между собой. Так как AM и CN являются хордами, ∠AMP = ∠CNP.

3. Средние линии треугольника: Медиана треугольника, проведенная из вершины к середине противоположной стороны, делит эту сторону пополам. В данном случае, медианы AN и CK делят стороны AC и BD пополам.

Из этих фактов следует, что угол ∠AMN равен углу ∠CNP.

Аналогично, рассмотрим треугольники CNK и BPN:

1. Вписанный угол в полуокружности: Угол CNK является вписанным углом, так как его вершина K лежит на окружности, а стороны CN и NK являются хордами этой окружности. То же самое относится и к углу BPN.

2. Углы на окружности, опирающиеся на одну и ту же хорду: Согласно свойствам окружности, ∠CNK = ∠BPN.

3. Средние линии треугольника: Медианы CK и BP делят стороны CD и BD пополам.

Из этих фактов следует, что угол ∠CNK равен углу ∠BPN.

Таким образом, мы имеем:

∠AMN = ∠CNP ∠CNK = ∠BPN

Из этого следует:

∠AMN = ∠CNK

Иными словами, ∠ВМN = ∠NКС.

Таким образом, утверждение ∠ВМN = ∠NКС доказано.