Question

Доказательство формулы площади равностороннего треугольника

Answer 1

Площадь равностороннего треугольника со стороной а может быть найдена по формуле S = a²√3/4.

Доказательство:

Вот один из способов.

По теореме в треугольнике

S = 1/2•a•b•sinC.

Все углы равностороннего треугольника по 60°, тогда

S = 1/2•a•a•sin60° = 1/2a²•√3/2 = a²√3/4, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем формулу для площади равностороннего треугольника.

Пусть у нас есть равносторонний треугольник ABC со стороной a. Это означает, что все три стороны равны между собой: AB = BC = AC = a.

Первым шагом давайте построим высоту треугольника из вершины A. Высота разделит основание BC пополам, создавая два равных отрезка: BD = DC = a/2.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: ABD и ADC, где высота AD - это высота равностороннего треугольника.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике площадь можно выразить как (1/2) * основание * высота. Применяя это к обоим треугольникам:

Площадь треугольника ABD = (1/2) * BD * AD Площадь треугольника ADC = (1/2) * DC * AD

Подставляя значения BD = a/2 и DC = a/2:

Площадь треугольника ABD = (1/2) * (a/2) * AD = (a * AD) / 4 Площадь треугольника ADC = (1/2) * (a/2) * AD = (a * AD) / 4

Таким образом, сумма площадей треугольников ABD и ADC будет:

Площадь треугольника ABD + Площадь треугольника ADC = ((a * AD) / 4) + ((a * AD) / 4) = (a * AD) / 2

Но площадь равностороннего треугольника ABC также можно выразить через основание a и высоту AD:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * a * AD

Сравнивая два выражения:

Площадь треугольника ABC = (1/2) * a * AD = (a * AD) / 2

Мы видим, что площади треугольников ABC, ABD и ADC совпадают. Это означает, что площадь всего треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и ADC:

Площадь треугольника ABC = Площадь треугольника ABD + Площадь треугольника ADC = (a * AD) / 2

Таким образом, мы доказали формулу для площади равностороннего треугольника, которая выглядит как:

Площадь = (сторона^2 * √3) / 4