Question

Через кінець хорди, яка ділить коло у відношенні 3 : 5, проведено дотичну. Знайдіть гострий кут між даною хордою і дотичною.

Answer 1

нехай х - коефіцієнт пропорційності, тоді 3х + 5х =360°, 8х=360°, х=45

тоді менша дуга дорівнює 3*45=135°, щоб знайти гострий кут між хордою та дотичною потрібно 135°/2 =67,5°

ВІДПОВІДЬ: 67,5°

Answer 2

Нехай хорда, яка ділить коло у відношенні 3:5, буде AB, де A і B - точки перетину хорди з колом. Нехай P буде точкою дотику на колі, а Q - точкою перетину хорди AB і дотичної PQ.

Спочатку знайдемо кути між дотичною PQ і радіусами кола, що проведені до точок дотику P та Q. Оскільки дотична є перпендикулярною до радіусу в точці дотику, кут між дотичною і радіусом дорівнює 90 градусів.

Також ми знаємо, що коло ділиться хордою AB у відношенні 3:5. Отже, співвідношення довжини відрізків AP і PB дорівнює 3:5.

Нехай R - центр кола, а O - центр кола, вписаного у трикутник ABR. Оскільки R є серединою хорди AB, то він також є серединою дотичної PQ. Тобто, PR = RQ.

З огляду на властивості кола, ми знаємо, що радіус кола перпендикулярний до хорди, проведеної через точку перетину хорди. Отже, кут ARO дорівнює 90 градусів.

За аналогічними властивостями кола, кут QRO також дорівнює 90 градусів.

Отже, ми отримали, що трикутник OPR є прямокутним трикутником з прямим кутом при вершині P.

Тепер ми можемо визначити гострий кут між хордою AB і дотичною PQ, як кут RPO. Оскільки ми вже з'ясували, що трикутник OPR є прямокутним, то гострий кут RPO - це кут OPR.

Отже, гострий кут між даною хордою AB і дотичною PQ дорівнює куту OPR, який є кутом в прямокутному трикутнику OPR.