Question

Дан параллелограмм ABCD. На сторонах BC и CD взяты соответственно точки M и N так, что CM : MB = 2 : 1 и CN : ND = 2 : 1. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь параллелограмма ABCD равна 54

Answer 1

Проведём диагонали AC и BD. Диагональ параллелограмма делит на два равных треугольника и их площади равны: $S_{BDC}=S_{ABD}=54/2=27$ и $S_{ACD}=S_{ABC}=54/2=27$. Пусть $CN=2x;~ CN=x$ и $BM=y;~ CM=2y$. Тогда

$\dfrac{S_{BDC}}{S_{MCN}}=\dfrac{3y\cdot 3x}{2y\cdot 2x}=\dfrac{9}{4}$ откуда $S_{MCN}=12$.

$\dfrac{S_{ACD}}{S_{AND}}=\dfrac{3x\cdot 3y}{x\cdot 3y}=3$ откуда $S_{AND}=9$

$\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{3x\cdot y}{3x\cdot 3y}$ откуда $S_{ABM}=9$

$S_{AMN}=S_{ABCD}-S_{MCN}-S_{AND}-S_{ABM}=24$ — ответ.

Answer 2

Площадь треугольника AMN можно найти, используя свойство равенства площадей параллелограммов и треугольников, имеющих общее основание и лежащих между параллельными прямыми. Параллелограмм ABCD можно разбить на два треугольника, например, треугольник ABD и треугольник BCD.

Площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников ABD и BCD:

Площадь ABD + Площадь BCD = 54

Так как треугольники ABD и BCD имеют общее основание AB, площади этих треугольников связаны пропорционально длинам отрезков CM и CN:

Площадь ABD = (AB / CD) * Площадь ABCD Площадь BCD = (CD / CD) * Площадь ABCD = Площадь ABCD

Так как AB = CD (поскольку это параллелограмм), то:

Площадь ABD = Площадь BCD = 54 / 2 = 27

Теперь у нас есть площадь треугольника ABD (или BCD), и мы знаем, что точка M находится на стороне BC в соотношении 2:1. Это означает, что отношение площадей треугольников AMN и MBC также будет 2:1.

Итак, площадь треугольника AMN равна:

Площадь AMN = (AM / MC) * Площадь MBC

Подставляя известные значения, получим:

Площадь AMN = (2 / 1) * (27 / 3) = 2 * 9 = 18

Итак, площадь треугольника AMN равна 18.