Question

Окружность касается описанной окружности ω треугольника ABC внутренним образом в точке D, а отрезков AB и AC — в точках E и F соответственно. Прямые DE и DF повторно пересекают окружность в точках M и N соответственно. Найдите угол между прямой MN и высотой из вершины A, если ∠B=72∘, ∠C=44∘.

Answer 1

Лемма Архимеда:

Пунктирная окружность вписана в сегмент окружности w, касается окружности w в точке D и хорды AB в точке E. Тогда DE - биссектриса угла ADB.  

По лемме Архимеда M - середина дуги AB, N - середина дуги AC.

∪AN =∪AC/2 =B

∪MB =∪AB/2 =C

∪BK =2BAK =2(90-B) (из треугольника BAH)

X =(∪AN+∪MK)/2 =(C-B)/2 +90 =(44-72)/2 +90 =76°

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

1. Начнем с того, что угол BAD (где D - точка касания внутренней окружности с описанной окружностью) равен половине угла BAC (так как он опирается на дугу BC, касающуюся окружности ω). Следовательно, угол BAD = 0.5 * (180° - BAC), где BAC = 180° - 72° - 44° (сумма углов в треугольнике равна 180°).

2. Так как AMED - это хорда, и AD - это радиус, угол MDA равен половине угла BAD: угол MDA = 0.5 * угол BAD.

3. Аналогично, можно показать, что угол NDA = 0.5 * угол CAD.

4. Теперь у нас есть два угла, связанных с точкой D. Угол MND - это сумма углов MDA и NDA: угол MND = угол MDA + угол NDA.

5. Высота из вершины A в треугольнике ABC разделяет угол BAC пополам. Таким образом, угол BAD также равен половине угла BAC.

6. Так как угол BAD и угол MDA равны, а угол NDA равен половине угла CAD, мы можем заключить, что угол MND равен углу CAD.

Таким образом, угол между прямой MN и высотой из вершины A равен углу CAD.

Теперь мы можем вычислить угол CAD, используя теорему синусов в треугольнике ACD:

$\sin(CAD) = \frac{AC}{AD} = \frac{AC}{R},$

где R - радиус описанной окружности, а AC можно выразить через радиус R и угол BAC:

$AC = 2R \sin(\frac{BAC}{2}).$

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение для угла CAD:

$\sin(CAD) = \frac{2R \sin(\frac{BAC}{2})}{R} = 2 \sin(\frac{BAC}{2}).$

Таким образом, угол CAD равен $\sin^{-1}(2 \sin(\frac{BAC}{2}))$, где BAC = 180° - 72° - 44°.

Зная угол CAD, мы можем сказать, что угол между прямой MN и высотой из вершины A равен тому же углу CAD.