Question

В равнобедренном треугольнике P(периметр)= 54 см. А высота ,проведённая к основе ,равна 9 см. Найти S(площадь)- ?

Answer 1

Пусть АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС. ВН = 9 см - высота.
тогда ВА=ВС-боковые стороны.
Теперь пусть ВА=ВС-=х см. Тогда АС = 54-2х см.
Высота ВН равнобедренного ∆АВС также является медианой и биссектрисой. Поэтому АН=НС=(54-2х)/2 = 27 - х см.
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆ВНC
ВС² = ВН² + НС²
х² = 9² + (27- х)²
х² = 81 + 729- 54х + х²
54х=810
х=810/54=15
Теперь АС = 54-2*15=24 см
S ∆ = ½ ВН·АС=½·24·9= 108см²

Answer 2

Давайте обозначим равнобедренный треугольник следующим образом:

• Одна из равных сторон: a.
• Основание: b.
• Высота, проведенная к основанию: h.

Известно, что периметр треугольника равен сумме всех его сторон:

P = a + a + b = 2a + b = 54 см.

Так как дана высота, проведенная к основанию, мы можем использовать геометрические свойства равнобедренных треугольников для выражения боковой стороны a через основание b и высоту h:

a = √(h^2 + (b / 2)^2).

Подставим данное значение a в уравнение для периметра:

2a + b = 54, 2 * √(h^2 + (b / 2)^2) + b = 54.

Теперь мы знаем, что высота h равна 9 см:

2 * √(9^2 + (b / 2)^2) + b = 54, 2 * √(81 + b^2 / 4) + b = 54.

Упростим уравнение:

2 * √(81 + b^2 / 4) = 54 - b, √(81 + b^2 / 4) = (54 - b) / 2, 81 + b^2 / 4 = (54 - b)^2 / 4.

Раскроем квадрат справа:

81 + b^2 / 4 = 2916 - 108b + b^2 / 4, b^2 / 4 + b^2 / 4 + 108b = 2916 - 81, b^2 + b^2 + 432b = 2835, 2b^2 + 432b - 2835 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно b:

2b^2 + 432b - 2835 = 0, b^2 + 216b - 1417.5 = 0.

Решение этого уравнения даст два значения для b. Однако, нам подходит только положительное значение, так как длины сторон не могут быть отрицательными. Решив уравнение, найдем значение b:

b = 9.5.

Теперь, когда у нас есть значение одного из боковых сторон (a = √(h^2 + (b / 2)^2)) и основания (b = 9.5), мы можем вычислить площадь треугольника:

S = (b * h) / 2, S = (9.5 * 9) / 2, S = 85.5 / 2, S = 42.75 см².

Итак, площадь равнобедренного треугольника равна 42.75 квадратных сантиметров.