Question

Один из углов прямоугольного треугольника составляет 60 градусов, а разница между гипотенузой и малым катетом равна 3см. Найдите гипотенузу и малый катет треугольника.Помогите​

Answer 1

Обозначим вершины треугольника А В С с прямым углом С катетами АС и ВС и гипотенузой АВ, а <В=60°. Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, тогда <А=90–60=30°. Меньший катет ВС, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. Пусть ВС=х, а АВ=у. Если ВС=½АВ, то:

х=½ × у.

По условиям разница между ВС и АВ 3 см, тогда ВС=АВ–3, или х=у–3

Составим уравнение:

х=½× у

х=у–3

Приравняем оба уравнения между собой:

½ × у=у–3

у/2=у–3

Перемножим числитель и знаменатель соседних дробей между собой и получим:

(у–3)2=у

2у–6=у

2у–у=6

у=6

Итак: гипотенуза АВ=6, тогда

ВС=6–3=3см

или ВС=6÷2=3см

Ответ: гипотенуза АВ=6см, малый катет ВС=3см

Answer 2

Давайте обозначим малый катет через $a$, гипотенузу через $c$, а большой катет через $b$.

Мы знаем, что угол между малым катетом и гипотенузой равен 60 градусов. Также дано, что разница между гипотенузой и малым катетом составляет 3 см.

Мы можем использовать следующие соотношения для нахождения $a$ и $c$: $a = c \sin 60^\circ$ $c - a = 3$

Так как угол 60 градусов соответствует стандартному значению для треугольника, мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение $\sin 60^\circ$ в первое уравнение: $a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение $a$ во второе уравнение: $c - \left(c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3$

Раскроем скобки: $c - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot c = 3$

Вынесем $c$ за скобку: $c \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3$

Упростим выражение в скобках: $c \left(\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3$ $c \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right) = 3$

Разделим обе стороны на $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$: $c = \frac{3}{2 - \sqrt{3}}$

Теперь мы можем найти $c$. Для этого нужно рационализировать знаменатель: $c = \frac{3}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ $c = \frac{3(2 + \sqrt{3})}{4 - 3}$ $c = 3(2 + \sqrt{3})$

Таким образом, гипотенуза $c$ равна $3(2 + \sqrt{3})$.

Теперь, чтобы найти $a$, мы можем подставить значение $c$ в первое уравнение: $a = 3(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $a = 3\sqrt{3} + 9$

Таким образом, малый катет $a$ равен $3\sqrt{3} + 9$