Question

Докажите что если Высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности то этот треугольник равнобедренный​

Answer 1

Ответ:

Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.Если серединный перпендикуляр основания совпадает с высотой, то высота делит основание пополам, а значит совпадает с медианой. А это уже признак равнобедренного треугольника.

Может-ли высота пройти через центр окружности и не совпадать с серединным перпендикуляром?  Нет. Иначе получатся 2 перпендикуляра, опущенных их центра на основание. Чего быть не может.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение. Пусть у нас есть треугольник ABC, у которого высота CH проходит через центр описанной окружности. Мы хотим показать, что этот треугольник является равнобедренным.

Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, H - точка пересечения высоты CH с описанной окружностью, а M - середина стороны AB.

Поскольку CH - высота треугольника, она перпендикулярна стороне AB. Также известно, что центр описанной окружности O лежит на перпендикуляре к стороне AB, проходящем через середину стороны AB.

Так как H и O лежат на одной прямой, а M является серединой AB, то по свойству окружности, угол MOH также является прямым углом.

Теперь обратим внимание на треугольник OCH. У нас есть два прямых угла: угол MOH и угол OCH (поскольку OC - радиус окружности, а CH - высота, и они пересекаются в прямом угле MOH). Значит, третий угол, угол OHC, также равен 90 градусам.

Таким образом, в треугольнике OHC у нас есть два угла, равные 90 градусам, и следовательно, третий угол OHC также равен 90 градусам. Это означает, что треугольник OHC прямоугольный.

Так как один из углов треугольника OHC равен 90 градусам, а угол OCH также является прямым, то угол OHC равен углу OCH.

Теперь вернемся к треугольнику ABC. Угол ABC равен углу OBC (по свойству окружности, угол, опирающийся на дугу, вдвое больше угла, опирающегося на тот же дугу).

Так как угол OCH равен углу OHC, а угол OBC равен углу ABC, то у нас есть следующее соотношение углов: угол ABC = углу OBC = углу OCH.

Таким образом, мы показали, что в треугольнике ABC два угла равны между собой (углы ABC и ACB), что делает его равнобедренным.

Итак, если высота треугольника проходит через центр описанной около него окружности, то этот треугольник будет равнобедренным.