Question

Точки M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA квадрата ABCD соответственно. Докажите, что точки пересечения прямых AN, BP, CQ, DM являются вершинами квадрата

Answer 1

△ABN=△BCP=△CDQ=△DAM (по двум катетам) => соответствующие стороны и углы равны

△MAE=△NBF=△PCG=△QDH (по стороне и прилежащим углам)

Вычитая из равных отрезков равные, выясняем, что EFGH - ромб.

(AN=BP, AE=BF, FN=GP ... => AN-AE-FN =BP-BF-GP ... => EF=FG=GH=HE)

В △AME сумма острых углов 90 => E=90

EFGH - ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим каждую из прямых и найдем их точки пересечения.

Пусть точка M – середина стороны AB квадрата ABCD, точка N – середина стороны BC, точка P – середина стороны CD, и точка Q – середина стороны DA.

1. Рассмотрим прямую AN. Она проходит через вершину A и точку N, а также параллельна стороне BC квадрата ABCD. Поэтому она также проходит через вершину C.

2. Прямая BP проходит через вершину B и точку P, а также параллельна стороне CD. Таким образом, она проходит через вершину D.

3. Прямая CQ проходит через вершину C и точку Q, а также параллельна стороне DA. Следовательно, она также проходит через вершину A.

4. Прямая DM проходит через вершину D и точку M, а также параллельна стороне AB. Это означает, что она проходит через вершину B.

Таким образом, точки пересечения прямых AN и CQ являются вершинами квадрата ABCD (вершинами A и C), а точки пересечения прямых BP и DM являются вершинами квадрата (вершинами B и D).

Итак, мы видим, что точки пересечения прямых AN, BP, CQ и DM соответственно являются вершинами квадрата ABCD, что и требовалось доказать.