Question

Точка O - середина диагонали BD четырехугольника ABCD. Прямая, параллельная AC и проходящая через точку O, пересекает сторону AD вточке M. Докажите, что отрезок CM делит четырехугольник ABCD на дваравновеликих многоугольника.Решите, пожалуйста, с рисунком.

Answer 1

EB||AC

Расстояние между параллельными постоянно, треугольники AEC и ABC имеют равные высоты.

S(AEC)=S(ABC) => S(ECM)=S(ABCM)

OM||AC||EB, по теореме Фалеса точка M - середина ED

Медиана CM делит треугольник ECD пополам.

S(ECM)=S(MCD) =S(ABCM)

Answer 2

Для начала, давайте введем обозначения на рисунке:

• Точка O - середина диагонали BD (по условию).
• Точка M - точка пересечения прямой, параллельной AC и проходящей через O, со стороной AD.

Так как прямая, проходящая через O и параллельная AC, пересекает сторону AD в точке M, то можно провести следующие выводы:

1. Так как O - середина диагонали BD, то соединение точек B и D будет проходить через O и разделит его пополам. То есть, BO = OD.
2. Поскольку прямая, проходящая через O и параллельная AC, пересекает сторону AD в точке M, то прямая MO разделит сторону AD пополам, то есть, AM = MD.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Давайте докажем, что отрезок CM делит его на два равновеликих многоугольника.

Мы знаем, что сторона AD была разделена на две равные части: AM = MD. Также мы знаем, что сторона BD была разделена пополам: BO = OD.

Рассмотрим треугольник BOC. Поскольку O - середина стороны BD, то BO = OD, и по свойству серединного перпендикуляра отрезок OC будет проходить через середину BD (то есть, через O). Так как OC - это биссектриса угла BCD, она делит угол BCD пополам.

Теперь мы имеем два треугольника: треугольник BOC и треугольник CAM. Они имеют следующие равенства:

1. AM = MD (по построению).
2. OC - биссектриса угла BCD (по свойству).
3. Угол BOC = Угол CAM (по построению).

Теперь мы можем применить следующую теорему: Если в двух треугольниках равны две стороны и равен угол между ними, то эти треугольники равны. Следовательно, треугольники BOC и CAM равны.

Следовательно, площади треугольников BOC и CAM равны, так как их базы равны, и высоты равны из-за биссектрисы угла BCD.

Поскольку площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников BOC и CAM, и эти площади равны, то мы доказали, что отрезок CM делит четырехугольник ABCD на два равновеликих многоугольника.