Question

На боковой стороне AB трапеции ABCD (AD∥BC) отмечена середина M. Известно, что AD+BC=CD, ∠BAD=57∘, ∠MDA=51∘. Сколько градусов составляет угол BMC?

Answer 1

Продлим CM до пересечения с прямой AD в точке E.

BMC=AME (вертикальные), CBA=EAB (накрест лежащие при BC||AD)

△BMC=△AME (по стороне и прилежащим углам) => CM=EM, BC=AE

CD =AD+BC =AD+AE =ED

△CDE - равнобедренный => медиана DM является высотой, CMD=90  

BMD =BAD+MDA =57+51 =108 (внешний угол △AMD)

BMC =BMD-CMD =108-90 =18°

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойством параллельных прямых, согласно которому соответственные углы между параллельными прямыми равны.

Так как AD ∥ BC, то угол BCD равен углу MDA (соответственные углы). По условию, ∠MDA = 51∘.

Также известно, что ∠BAD = 57∘. Так как AM является медианой трапеции ABCD, то AM = MB. Таким образом, в треугольнике AMB имеем два угла: ∠BAM и ∠BMA, которые обозначим как α и β соответственно.

Сумма углов треугольника равна 180∘, поэтому: α + β + ∠BAD = 180∘.

Так как ∠BAD = 57∘, то: α + β + 57∘ = 180∘.

Выразим α + β: α + β = 180∘ - 57∘ = 123∘.

Так как BC ∥ AD, то угол BMC равен углу AMB (соответственные углы). Исходя из этого, угол BMC также равен α + β.

Таким образом, угол BMC равен 123∘.